曲線：
と直線：
，直線：と直線：，直線：
(
とする)，及びy軸で囲まれる図形をy軸の回りに1回転させてできる回転体の体積Vは、
で切ったときの断面は、
の逆関数
を利用して書くと、半径
の円なので、
例1． 曲線：
と直線
，直線
で囲まれた図形をy軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求める。
･･･①
(分母を有理化した)
･･･②
は単調増加です。
......[答]
の逆関数
が求められないか、非常に積分しづらい形になるとします。
と、直線
，直線
で囲まれた図形をy軸のまわりに1回転させたときの体積Vは、
とおいて、置換積分します。
より、
，y：
のとき、x：
とすれば(
，
)、
を微分、
を積分に回して、
は、底円の半径がβ，高さが
の円柱の体積です。
は、底円の半径がα，高さが
の円柱の体積です。
は、底円の半径x (底円の円周の長さは
)，高さyの円筒を開いて長方形にしたときの長方形の面積：
をx方向に積分したもので、曲線：
と直線
，直線
，x軸で囲まれる部分(右図で黄色に塗られた部分)をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を表しています。
の体積の考え方は、回転体を円筒に分割して体積を計算するという意味で、円筒分割と呼ばれています。
になっています。
の
の部分とx軸で囲まれる図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求める。
......[答]
の
の部分，x軸，y軸，
で囲まれる図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求める。
では大変なことになります。
より
となるので、置換積分も厳しそうです。そこで、円筒分割を考えます。
のとき
，
のとき
なので、底円の半径1，高さ1の円柱の体積
から、曲線：
とx軸、直線
で囲まれる部分をy軸の回りに1回転してできる回転体の体積
を引いたものになります。
とおくと、
，
，微分して
より、
，x：
のとき、t：
......[答]