　センター試験数学IA 2007年問題　

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[1][1]　方程式
　　　

　　　･･･①
を考える。

(1) 方程式①の解のうち、

を満たす解は

　　　

である。

(2) 方程式①の解は全部で

個ある。その解のうちで最大のものをαとすると、

を満たす整数mは

である。

[2]　集合A，Bを
　　

　　　

とする。

(1) 次の

と

に当てはまるものを、下の

～

のうちから一つずつ選べ。

自然数がnがAに属することは、nが2で割り切れるための

。
自然数がnがBに属することは、nが20で割り切れるための

。

　必要十分条件である

　必要条件であるが、十分条件でない

　十分条件であるが、必要条件でない

　必要条件でも十分条件でもない

(2) 次の

～

に当てはまるものを、下の

～

のうちから一つずつ選べ。

とする。自然数全体の集合を全体集合とし、その部分集合Gの補集合を

で表すとき

，

，

である。

　

　

　

　

　

　

[2]　aを定数とし、xの2次関数
　　　

　　　･･･①
のグラフをGとする。

(1) グラフGが表す放物線の頂点の座標は

　　　

である。グラフGがx軸と異なる2点で交わるのは
　　　

のときである。さらに、この二つの交点がともにx軸の負の部分にあるのは
　　　

のときである。

(2) グラフGが表す放物線の頂点のx座標が3以上7以下の範囲にあるとする。

このとき、aの値の範囲は
　　　

であり、2次関数①の

における最大値Mは
　　　

のとき
　　　

　　　

のとき
　　　

である。
したがって、2次関数①の

における最小値が6であるならば
　　　

であり、最大値Mは
　　　

である。

[3]　

において、

，

，

とする。また、

の外接円の中心をOとする。

(1) このとき、

であり、外接円Oの半径は

　　　

である。

(2) 円Oの円周上に点Dを、直線ACに関して点Bと反対側の弧の上にとる。

の面積を

，

の面積を

とするとき

　　　

　　　･･･①
であるとする。

であるから
　　　

となる。このとき
　　　

である。
さらに、2辺AD，BCの延長の交点をEとし、

の面積を

，

の面積を

とする。このとき
　　　

　　　･･･②
である。①と②より
　　　

となる。

[4]　1辺の長さ1の正六角形があり、その頂点の一つをAとする。一つのさいころを3回投げ、点Pを次の(a)，(b)，(c)にしたがって、この正六角形の辺上を反時計回りに進める。

(a) 頂点Aから出発して、1回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める。

(b) 1回目で点Pがとまった位置から出発して、2回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める。

(c) 2回目で点Pがとまった位置から出発して、3回目に出た目の数の長さだけ点Pを進める。

(1) 3回進めたとき、点Pは正六角形の辺上を1周して、ちょうど頂点Aに到達する目の出方は

通りである。

3回進める間に、点Pが1回も頂点Aにとまらない目の出方は

通りである。

(2) 3回進める間に、点Pが3回とも頂点Aにとまる確率は

であり、ちょうど2回だけ頂点Aにとまる確率は

である。

3回進める間に、点Pがちょうど1回だけ頂点Aにとまる確率は

である。

(3) 3回進める間に、点Pが頂点Aにとまる回数の期待値は

回である。

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