共通テスト数学IA '26年第1問
[1] 全体集合Uを2以上20以下の自然数全体の集合とする。すなわち
である。
2以上9以下の自然数a，bに対して、Uの部分集合A，Bを
とする。
例えば
である。
，
である。
～
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
(2) a，bが2以上9以下の自然数であることに注意して、a，bについて考えよう。
(i) 
の要素に、2の倍数も3の倍数もないとき である。
(ii) 
であるとき 
，
である。
[2] 以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。
(1) 四角形ABCDの面積Sについて考えよう。以下では、四角形ABCDの内角
，
，
，
の大きさを、それぞれA，B，C，Dで表す。ただし、四つの内角はいずれも
より小さいものとする。 対角線BDを共通の1辺とする△ABDと△BCDの面積を、それぞれ
，
とすると、 
，
となる。
四角形ABCDの四つの内角が
を満たすとき、
となる。このとき、
を
を用いて表せることに注意すると 
･･･①となる。
～
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) 
の解答群
の解答群
(2) 点Oを中心とする半径6の円Oが、線分PQ上のP，Qと異なる点Mにおいて線分PQに接している。P，Qそれぞれを通る円Oの接線で、直線PQと異なるものを引き、この円との接点をそれぞれK，Lとする。以下では直線PK，QLが交わる場合を考え、その交点をRとする。このとき、△PQRの辺の長さについて考えよう。
(i) 
，
であるときを考え、
，
とする。このとき、2直線PK，QLの交点Rは直線PQに関して点Oと同じ側にある。四角形PMOKが△PMOと△PKOに分けられることに注意すると、四角形PMOKの面積は
であることがわかる。このことから①を用いると、
となることがわかる。
四角形QLOMについても同様に考えると、
となることもわかる。よって、PR：QR ＝ 
：
となり、これにより
と求められるので、△PQRの辺の長さを求めることができる。
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解答 [2]は少々悩むかも知れません。特に最後のヒフヘは、どうせ4点で、時間を考えると、パスしてカンでマークする方が賢明です。ヒフヘをネノハと同じマークにした人は本当にラッキーですが、出題に不明朗なものを感じざるを得ません。
[1] Aは、集合Uの要素のうちで、aの因数分解の中に出てくる素数(複数あることもあります)の倍数の集合、Bは、集合Uの要素のうちで、bの因数分解の中に出てくる素数の倍数の集合です(整数を参照)。 (1) 
のとき、Aは、Uのうちで3の倍数、つまり、
，
のとき、Bは、Uのうちで2の倍数、つまり、
です。 ア 6 イ 8 ......[答] 
は、3と2の公倍数で、
，
は、3の倍数であって偶数でない(つまり奇数)もので、
です。 ウ 3 エ 2 ......[答]
(2)(i) 
が2の倍数でも3の倍数でもない、というのは、Aが2の倍数と3の倍数を合わせた集合だということです。つまり、Aは、
より、
と1以外の正の公約数をもつ数の集合だということです。 オ 6 ......[答] (ii) 
ということは、Aの要素にも
の要素にも5が含まれるということで、Bは5を含みません。
で、Aが5の倍数の集合だとして、
とすると、
は、5を含むが、10，15，20を含みません。ということは、Bは5を含まず、10，15，20を含みます。こうなるのは(i)より
のときです。 カ 5 キ 6 ......[答]
[2](1) 右図より(三角形の面積を参照)、
，
ク 1 ケ 4 ......[答]
より、
であれば、
です。 コ 4 ......[答]
より、サ 2 ......[答]
△PKO = △PMO＝
です。従って、四角形PMOKの面積は、
です。 シ 7 ス 2 ......[答]四角形PMOKは、
より円に内接する(円と図形を参照)ので、
であり、
です。
四角形PMOKの面積△PKM＋△OKMが72であることから、 ∴ 
セ 4 ソ 5 ......[答]四角形QLOMの面積△QLO＋△QMO＝
についても同様にして、 ∴ 
タチ 12 ツテ 13 ......[答]△PQRの面積について、
より、 トナ 15 ニヌ 13 ......[答]
として、
∴ 
∴ 
ネノ 21 ハ 2 ......[答] 
(ii) (i)と同様にして、四角形PMOKは円に内接し、
であり、
です。
四角形PMOKの面積△PKO＋△PMOは、
です。
四角形PMOKの面積を△PKM＋△OKMと見て、 ∴ 
四角形QMOLの面積△QLO＋△QMOは、
です。
四角形QMOLの面積を△QLM＋△OLMと見て、 
ヒフ 21 ヘ 2 ......[答]
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のとき、
のとき、
のとき、
，
のとき、
である。このとき
，
であるときを考える。このとき、2直線PK，QLの交点Rは、直線PQに関して点Oと反対側にある。このことに注意すると
と求められるので、△PQRの辺の長さを求めることができる。
(2)(i) 
，
，
，
なので、
より、△PQRの面積について、
より、
として、
