共通テスト数学IA '26年第3問
空間内に、
，
である二等辺三角形ABCがある。△ABCの内心をIとし、△IBCの重心をGとする。Gを通り、△ABCを含む平面と垂直な直線上に、Gと異なる点Pがある。このとき、△ABCを底面とする三角錐PABCについて考えよう。
直線AIと辺BCの交点をDとし、また、辺PA上の点Eは、
を満たしているとする。なお、以下の問題において比を解答する場合は、最も簡単な整数の比で答えよ。
(1) 直線BIが
ことに注意すると、△ABDにおいて線分AIとIDの長さの比を求めることができる。よって、線分ADの長さに着目すると 
，
であることがわかる。また、4点E，I，D，
は同一円周上にある。よって であることがわかる。
の解答群 
直線ACと垂直に交わる
直線ACとねじれの位置にある
を2等分する
辺ACの中点を通る
の解答群
(2) 線分PIとDEの交点をFとする。このとき、線分IFとFPの長さの比と、三角錐PABCび体積との関係について考えよう。
(i) 次の仮定1のもとで三角錐PABCの体積
について考える。
－仮定1－－－－－－－－－－－－－－－－－
線分IFとFPの長さの比がIF：FP ＝ 3：2である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
このとき
PE：EA ＝ 
：
であるから、(1)での考察に注意すると、
となる。
したがって、直線PGが△ABCを含む平面に垂直であることに注意すると、
であることがわかる。
(ii) (i)の仮定1の代わりに次の仮定2をおき、三角錐PABCの体積の変化について考える。
－仮定2－－－－－－－－－－－－－－－－－
線分IFとFPの長さの比がIF：FP ＝ 1：3である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
仮定2のもとでの三角錐PABCの体積
を、(i)で求めた
と比較すると、
と
の比は であるから、
。
の解答群
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解答 立体図形と平面図形がからみあっていて、気づきにくい部分もあります。試験場で落ち着いて、きちんとした図を描くことが大切です。
△ABCは二等辺三角形なので、ADは、
の二等分線であると同時に、DはBCの中点で、
です。また、
は直角で、三平方の定理より、
です。
(1) 直線BIは
の二等分線です(三角形の五心を参照)。 ア 2 ......[答] これより、BA：BD ＝ AI：ID = 10：6，よって、
，
です。 イ 5 ウ 3 ......[答]
なので、円周角の定理の逆より、四角形EIDPは円に内接する四角形です。 エ 4 ......[答]方べきの定理より、
･･･①
オカ 40 ......[答]
よって、
∴ 
キ 1 ク 4 ......[答]
とすると
，①より、
∴ 
ケ 5 コ 2 ......[答]
Gは△IBCの重心なので、IG：GD ＝ 2：1です。
なので、
であり、
です。三平方の定理より、
△ABCの面積は、
三角錐PABCの体積
は、
サシ 16 ......[答]
とすると
，①より、
∴ 
三平方の定理より、
△ABCの面積は48で
と変わらず、
：
＝ 6：1 ス 6 セ 1 ......[答]
です。 ソ 2 ......[答]
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P
：
＝ 
：
は
より小さい
と
は等しい
は
より大きい
，②より、
∴ 
･･･②