共通テスト数学IIB '24年第4問
(1) 数列
が 
(
)を満たすとする。
のとき、
，
である。
数列
の一般項は、初項
を用いて と表すことができる。
(2) 数列
が 
(
)を満たすとする。
数列
の一般項は、初項
を用いて と表すことができる。
(3) 太郎さんは、
(
) ･･･①を満たす数列
について調べることにした。 (i)
(ii) 太郎さんは、数列
が①を満たし、
となる場合について考えている。 
のとき、
がどのような値でもが成り立つ。
(iii) 太郎さんは(i)と(ii)から、
となることがあるかどうかに着目し、次の命題Aが成り立つのではないかと考えた。
－－－－－－－－－－－－－－－－
命題A 数列
が①を満たし、
であるとする。このとき、すべての自然数nについて
である。 －－－－－－－－－－－－－－－－命題Aが真であることを証明するには、命題Aの仮定を満たす数列
について、
を示せばよい。
実際、このようにして命題Aが真であることを証明できる。
については、最も適当なものを、次の
～
のうちから一つ選べ。 
のとき
が成り立つと仮定すると、
のときも
が成り立つこと 
のとき
が成り立つと仮定すると、
のときも
が成り立つこと (iv) 次の(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)は、数列
に関する命題である。
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解答 従来の数列の問題と比べてかなり軽い感じがしますが、良い傾向です。
(1) 
(
) ･･･② (漸化式を参照) 
のとき、②で
として、
∴ 
アイ 24 ......[答]②で
として、
∴ 
ウエ 38 ......[答]階差数列の公式を用いて、
オカ 14 ......[答]
･･･④ とすると、
③－④より、
∴ 
数列
は、初項
，公比
の等比数列。
∴ 
キ 3 ク 1 ケ 2 コ 3 ......[答]
(3) 
(
) ･･･①
(i)・①で
とすると、
のとき、 ・①で
とすると、
のとき、 ①で
とすると、 (ii) ・①で
とすると、
のとき、 ・①で
とすると、
のとき、 ・
のとき、
なので、命題Aは成り立ちます。 ・
のとき命題Aが成り立つと仮定すると、
①で
とすると、
なので、
より、
ですが、仮に
とすると、
になってしまうので、
であり、
のときも命題Aが成り立ちます。 よって、数学的帰納法により、命題Aが成り立ちます。 テ 3 ......[答]
(iv) 命題(Ⅰ)：
なので、命題Aにより、すべての自然数nについて
なので
であって、命題(Ⅰ)は偽です。 命題(Ⅱ)：
であれば、
がどんな値であっても①が成立します。
であれば、
がどんな値であっても①が成立します。これを繰り返せば、
であれば、
がどんな値であっても①が成立します。
であっても①が成立します。よって、命題(Ⅱ)は真です。 命題(Ⅲ)：命題(Ⅱ)と同様、
であれば、
がどんな値であっても①が成立します。
であっても①が成立します。よって、命題(Ⅲ)は真です。
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が①を満たし、
のとき、
である。
が①を満たし、
のとき、
，
である。
が①を満たし、
，
のとき
，
，
，
，
である。
が①を満たし、
，
のとき
，
，
，
，
である。
かつ
であること
かつ
であること
ならば
であること
かつ
であり、かつ①を満たす数列
がある。
かつ
であり、かつ①を満たす数列
がある。
かつ
であり、かつ①を満たす数列
がある。
である。
の解答群
∴ 
サ 1 ......[答]
∴ 
シス －3 ......[答]
∴ 
セソ －3 ......[答]
∴ 
タ 1 ......[答]
∴ 
チツ 40 ......[答]
(
)