共通テスト数学IIB '24年第5問
点Oを原点とする座標空間に4点A
，B
，C
，D
がある。A，Bを通る直線を
とし、C，Dを通る直線を
とする。
(1) 
であり、
である。
(2) 花子さんと太郎さんは、点Pが
上を動くとき、
が最小となるPの位置について考えている。 Pが
上にあるので、
を満たす実数sがあり、
が成り立つ。
が最小となるsの位置を求めればPの位置が求まる。このことについて、花子さんと太郎さんが話をしている。
－－－－－－－－－－－－－－－－ 花子：
が最小となるsの値を求めればよいね。 太郎：
が最小となるときの直線OPと
の関係に着目してもよさそうだよ。 －－－－－－－－－－－－－－－－
である。
また、
が最小となるとき、直線OPと
の関係に着目すると
が成り立つことがわかる。
花子さんの考え方でも、太郎さんの考え方でも、
のとき
が最小となることがわかる。
の解答群 
の解答群
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解答 最後のセソタチツテトナニヌネノを除いて、例年のベクトルよりもずっと基本的問題です。最後も、かつては、頻出標準問題でした。なお、空間ベクトルを参照してください。
(1) 
ア 1 イウ －1 エ 1 ......[答] ･･･① 
･･･②
オ 0 ......[答]つまり、
，
です。
(2) 
カ 2 ......[答]
キ 3 クケ 12 コサ 54 ......[答]
これより、花子さんの考え方で、
のとき
最小です。
最小のとき、
なので、
です。 シ 1 ......[答]太郎さんの考え方で、①，③より、 
∴ 
ス 2 ......[答]
(3) ②を用いて、
･･･④
③，④より、
･･･⑤花子さんの考え方では、
の最小値を調べるのですが、計算が大変です。
そこで、太郎さんの考え方でやってみます。
最小のとき、
かつ
となるので、
(内積を参照)です。①，⑤より、 ③に代入して、
セソ －3 タチ 12 ツテ －6 ......[答]⑤に代入して、
④に代入して、
トナ －7 ニヌ 12 ネノ －2 ......[答]別解．本問では、
を活かして以下のように解答することもできます。 
と
を含む平面を
，
と
を含む平面を
とすると、
最小のとき、
かつ
なので、
の法線ベクトルは
，
の法線ベクトルは
です。よって、
，
を定数として、平面の方程式は、とおけます。
はA
を通るので 
はC
を通るので、これより、
Pは
と
の交点で、③より、 
∴
∴
④に代入して、
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上を動き、点Qが
上を動くとする。このとき、線分PQの長さが最小になるPの座標は
，Qの座標は
である。
∴ 
∴ 
：
：
：
：
と
の交点で、④より、
