共通テスト数学IIBC '25年第7問
α，β，γを異なる複素数とし、複素数平面上に3点
，
，
をとる。直線ABと直線ACの関係について考えよう。
以下、複素数の偏角は0以上
未満とする。
であるから
であり、
の偏角は
である。
の解答群
i 
2 
の解答群
0 
π 
(2) 
とおく。直線ABと直線ACが垂直に交わるのは、ωの偏角が
または
のときである。このとき、ωは
であるから である。逆に、
に注意すると、
のとき、ωは
であるので、直線ABと直線ACが垂直に交わる。
の解答群
0でない実数 
または 
純虚数(実部が0である虚数) 
または 
の解答群
0 1 2 i 
(3) zは0，2，
でない複素数とする。
(i) 
，
，
とする。直線ABと直線ACが垂直に交わるための条件について考えよう。 が成り立つので、直線ABと直線ACが垂直に交わるための必要十分条件は
である。これは、
(ii) (i)のα，β，γをそれぞれ
倍した複素数
，
，
について考える。複素数平面上の異なる3点
，
，
について、直線
と直線
が垂直になるような点z全体を複素数平面上に図示すると
である。
(iii) (i)のα，β，γにおけるzを
に置き換え、
，
，
について考える。複素数平面上の異なる3点 
，
，
について、直線
と直線
が垂直になるような点z全体を複素数平面上に図示すると
である。
，
については、最も適当なものを、右の〜のうちから一つ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
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解答 偏角に関する条件から複素数平面上の円を導く問題です。
(1) 
ア 4 イ 8 ......[答] (複素数の計算を参照)
ウ 4 エ 2 ......[答]
オ 3 ......[答]
の偏角は
です。 カ 4 ......[答]
(2) 
とおくと、偏角が
，
の複素数ωは、純虚数です。 キ 2 ......[答] 純虚数の実部は0なので、このとき
です。 ク 0 ......[答]
直線ABと直線ACが垂直に交わるための条件は、
をかけて2で割ると、∴ 
よって、
(但し、
) ケ 6 ......[答]複素数平面上に図示すると、
を中心とする半径1の円です(複素数の図形的応用を参照)。但し、0と
を除きます。 コ 0 ......[答] これは(i)と同じです。3点
，
，
について、直線
と直線
が垂直になる条件も同じく、
であり、これを複素数平面上に図示すると、
を中心とする半径1の円です。但し、0と
を除きます。 サ 0 ......[答] 3点 
，
，
について、直線
と直線
が垂直になる条件は、 
をかけて2で割ると、∴ 
よって、
(但し、
)複素数平面上に図示すると、1を中心とする半径1の円です。但し、0と2を除きます。 シ 1 ......[答]
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，
，
の場合を考える。
の偏角を求めよう。
をかけて整理すると、直線ABと直線ACが垂直に交わるための必要十分条件は
であることがわかる。したがって、直線ABと直線ACが垂直に交わるような点z全体を複素す平面上に図示すると
である。
の解答群
については、最も適当なものを、右の
，
，
のとき、
，
，
のとき、
，
，
のとき、
