阪大理系数学'09年後期[4]
a，b，cを実数とする。
，
とおく。2つの関数
，
のグラフが異なる2点P，Qを共有している。さらに点Pでの2つのグラフの接線が一致し、点Qでの2つのグラフの接線は直交しているとする。これらの条件を満たすようにa，b，cを変化させるとき、2つのグラフで囲まれた部分の面積Sの最小値を求めよ。
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解答 面積計算は、定積分の公式：
を利用します。
点P，Qのx座標をp，qとします。
点Pでの2つのグラフの接線が一致するので、点Pで2曲線は接します。また、点Qで2曲線が交わるので、
と
を連立すると、重解
，解
が得られます。よって、
･･･①
①を用いて、2つのグラフで囲まれた部分の面積Sは、
，
，いずれの場合もありうることと、
，あるいは、
において、
であることに注意して、
･･･③
，
を微分すると、
，
，
②より、
ここで、③を見ているとSが
で表されるので、
が出てくるように式変形します。
のとき、
より、曲線
の接線の傾きは0ですが、2次関数
のグラフの接線がx軸に垂直になることはないので、題意より、
です。よって、
③に代入すると、相加平均・相乗平均の関係より、
よって、Sの最小値：
......[答]
追記．整関数(xの多項式で表される関数)
，
のグラフの
における接線が一致するときに、方程式：
が
を重解にもつことを示しておきます。
まず、
における接線が一致することから、
(傾きが一致する) ･･･④
(接点のy座標が一致する) ･･･⑤
もxの多項式で表される関数で、
です。
を
で割った余り(xの1次式、あるいは、定数)を
(C，Dは定数)，商を
とすると、
･･･⑥
④より、
よって、
⑥より、
⑤より、
よって、
従って、
は
を重解にもちます。
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，
，
･･･②
(不等号の等号成立は
，つまり、
のとき)
