一橋大数学'05年前期[2]
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原点を中心とする半径1の円をCとし、
，
とする。
A
とN
を通る直線がCと交わる点のうちNと異なるものをPとおく。また、B
とNを通る直線がCと交わる点のうちNと異なるものをQとおく。
(1) Pの座標をaで表せ。
(2) AQ // PBのとき、
となることを示せ。 (3) AQ // PB，
のとき、aの値を求めよ。
解答 図形と方程式の計算問題です。
(3)は力尽くでやってもよいのですが、ここでは少し工夫してみます。
∴ 
･･･① C：
･･･② ①，②を連立して、
整理すると、
直線ANと円Cとの交点のうちNと異なるものがPなので、
として、 ①より、
よって、Pの座標は、
......[答]
(2) B
とN
を通る直線は、①のaをbと入れ替えて、 これと②を連立してQの座標を求めると、(1)の答のaをbと入れ替えて、
直線AQの傾きは、
(直線の方程式を参照)直線BNの傾きは、
AQ // BNより、両直線の傾きは等しく(2直線の平行・垂直を参照)、 
･･･③分母を払って整理すると、③は、aとbを入れ替えても成り立つ式(交代式と言います)なので、
という因数をもちます。これに注意して、 
より、
で割ると、整理して、
･･･④
∴ 
(3) 三角形ANBの面積Sを2通りに表すことができます。(2)の結果を利用すると、 底辺
，高さ
の三角形と見ると、 ∴ 
･･･⑤
を④に代入してもよいのですが、4次方程式になってしまうので、④が対称式であることを利用して、ちょっと工夫します。
，
･･･⑥これを④に代入すると、
∴ 
(
)⑥を用いて、 ∴ 
(
) ･･･⑦
⑦－⑤より、 
......[答]別解．余弦定理や正弦定理を使うこともできます。
三角形ANBに余弦定理を用いると、 ∴ 
これと④とから
を求めれば、2次方程式の解と係数の関係を用いてaを求めることができます。
三角形ANBに正弦定理を用いると、
より、 (2)の結果を用いると、
これで⑤が得られます。
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(1) A
とN
を通る直線は、
