関数の増減 関連問題
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ある区間で定義された関数
が、その区間内で
を満たす任意の
，
に対して、
を満たすとき、
を増加関数と言う。
を満たすとき、
を減少関数と言う。
開区間
において微分可能な関数
が、この区間において、
(i) 
ならば、
は増加関数
(ii) 
ならば、
は減少関数
(iii) 
ならば、
は定数関数
[証明] 
を満たす任意の
，
に対して、関数
は、閉区間
で連続、開区間
で微分可能だから、平均値の定理の要件を満たします。
平均値の定理より、
，
を満たすcが存在します。
(i) 
ならば、
より、
は増加関数です。
(ii) 
ならば、
より、
は減少関数です。
(iii) 
ならば、
が、
を満たす任意の
，
に対して成り立つので、
は定数です。 (証明終)
上記の事実によって、増減表で、
の区間に増加を表すマーク
を書き入れ、
の区間に減少を表すマーク
を書き入れることになります。
例1 関数
の増減を考えます。
のとき、
のとき
，
のとき
において
で増加，
において
で減少，
において
で増加となります。
増減表は以下のようになります。
例2 関数
(
)の増減を考えます。
のとき、
，
のとき
，
のとき
，
のとき
のとき
で増加、
のとき
で減少、
のとき
で増加、
のとき
で増加となります。
増減表は以下のようになります。
関数
が
の前後で増加から減少に切り替わるとき、
は
において極大であると言います。また
を極大値と言います。
が
で極大であっても
になるとは言えません。
関数
が
の前後で減少から増加に切り替わるとき、
は
において極小であると言います。また
を極小値と言います。
が
で極小であっても
になるとは言えません。
極大値と極小値を合わせて極値と言います。
極値を求める場合、通常は
となるところを探しますが、
が存在しないようなところでも極大・極小になることがあります。
上記の例1においては、関数
は、
において極大で、
において極小です。
において極大値
をとり、
で極小値0をとります。
上記の例2においては、関数
は、
において極大で、
において極大値
をとり、
において極小で、
において極小値
をとります。
において
ですが、このときのyの値0は極値とは言いません。
においては極大でも極小でもありません。
例3 関数
は、
の前後で減少から増加に切り替わるので、
において極小で、極小値0をとります。また、
の前後で減少から増加に切り替わるので、
においても極小で、極小値0をとります。ですが、
，
においては微分係数は存在しません。
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