慶大理工数学'06年[A1]

(1) a,b,c,dは実数とする。関数

がすべてのxで微分可能であるとき、a= ア ,d= イ である。
(2) 定積分
の値は ウ となる。
(3) α,βは実数とする。どのような実数p,qに対しても
となるのは、α= エ ,β= オ のときである。


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解答 (1)(ア) ()は、となる全てのxで微分可能(微分・導関数を参照)です。
()は、となる全てのxで微分可能です。
()は、となる全てのxで微分可能です。
従って、全ての
xでが微分可能となるためには、,において微分可能であればよいことになります。

において微分可能であるために、まず、においてが
連続であることが必要で、
∴  ・・・�@
また、において左側微分係数と右側微分係数が一致する
(微分・導関数を参照)ことが必要で、
左辺は、
右辺は、
より、
 ・・・�A

において微分可能であるために、まず、においてが連続であることが必要で、
∴  ・・・�B
また、において左側微分係数と右側微分係数が一致することが必要で、
左辺は、
右辺は、
∴  ・・・�C

�C−�Aより、
∴
......[答]

(イ) �Cより、
�@より、
�Bより、
......[答]

(2)(ウ)
とおくと、,x:のときt: (置換積分を参照)
とおくと、,t:のときu:
......[答]

(3)(エ)(オ)
 (部分積分法を参照)






∴
これが、どのような実数p,qについても成り立つためには、
 (恒等式を参照)
∴ , ......[答]


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