慶大理工数学'08年[A3]
(1) 実数aを固定したとき、直線
と曲線
が共有点を持つための切片bの条件をaを用いてあらわすと
ス である。 (2) 実数aを固定したとき、直線
と曲線
が共有点を持つための切片bの条件は、
セ のとき
ス であり、
セ のとき
ソ となる。
このように、aを固定したとき、直線
と曲線
が共有点を持つようなbの最小値が存在することがある。この最小値の符号を換えたものを
と書くことにする。たとえば
ならば
＝－( ス )である。
(3) 
とする。
と定めて、aを変数xで書き換えた関数
に対して
を考える。
タ のとき
＝ チ であり、
タ のとき
＝ ツ である。
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解答 記号の定義を与えて、その記号を使って考えさせるタイプの問題ですが、手の付けやすい題材で、決して無理でなく、柔軟な思考力を見る良い問題だと思います。
(1)(ス) 直線
･･･① と、曲線
･･･② が共有点をもつとき、①，②を連立して、 
･･･③∴ 
......[答] ･･･④
(2)(セ) 直線①と曲線
･･･⑤ の共有点を考えますが、⑤は、 
のとき、
のとき、②
なので、(ス)と同じ条件で良いのは、③が
の範囲に解をもつ場合です。これは、③の左辺をxの2次関数と見るとき、そのグラフの軸の位置
が
という範囲に入るということです(2次方程式の解の配置を参照)。つまり、
......[答]これは、直線①の傾きの絶対値が大きい場合には、直線のy切片bが④の(ス)の条件を満たせば、①と⑤を連立するときに、
の範囲に解をもつことを意味します。 
(ソ) 
のときには、直線①の傾きが緩やかで、曲線②の
の部分と共有点をもたないことがあり得ます。 ・
のときは、右図(橙色の線)より、直線①が点
から上を通過すれば、直線①と曲線⑤が共有点をもちます。よって、 
∴ 
･･･⑥・
のときは、右図(水色の線)より、直線①が点
から上を通過すれば、直線①と曲線⑤が共有点をもちます。よって、 
∴ 
･･･⑦⑥，⑦を合わせて、aの正負に限らず、
......[答](3)(タチ) 
のときに、
ということは、
のときには、問題文より、
即ち、
①と
を連立すると、 
･･･⑧⑧は、判別式
，つまり、
であれば実数解をもちます。
⑧の左辺をxの2次関数と見るとき、その軸の位置
が
の範囲にある、つまり、
であれば、直線①と
は、
の範囲に共有点をもちます。このとき、bの最小値は
であり、 よって、(タ)が
，(チ)が
......[答] 
(ツ) 
のときは、右図より、直線①が原点
から上を通過すれば、直線①と
が共有点をもちます。よって、 ∴ 
このとき、
......[答]
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