慶大理工数学'21年[3]
nを自然数とする。1個のさいころを繰り返し投げる実験を行い、繰り返す回数が回に達するか、5以上の目が2回連続して出た場合に実験を終了する。下の表は、の場合の例である。例aでは、5以上の目が2回連続して出ず、5回で実験を終了した。例bでは、5以上の目が2回連続して出たため、3回で実験を終了した。

　1回目2回目3回目4回目5回目
例a46121
例b365　　


この実験において、Aを「5以上の目が2回連続して出る」事象、非負の整数kに対しを「5未満の目が出た回数がちょうどkである」事象とする。一般に、事象Cの確率を，Cが起こったときの事象Dが起こる条件付き確率をと表す。

(1) のとき、である。

(2) のとき、である。

以下、とする。

(3) となるkの値の範囲は、と表すことができる。このをnの式で表すとである。

(4) とおく。のとき、を求めるとである。また、とおくとである。


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解答　目の出方についてしっかり図を描いて、題意をよくつかんで解答するようにする必要があります。

(1) のとき、繰返し回数は最大回です。は5未満の目がちょうど1回出る事象です。1, 2, 3, 4の目が出る事象(確率)を○、5, 6の目が出る事象(確率)を△で表す(△が2回続くと実験終了)と、
○△△　　確率は、
△○△　確率は、
よって、 ......[サ]

(2) のとき、繰り返し回数は最大回です。は5未満の目がちょうど2回出る事象です。
○○△△　　確率　･･･①
○△○△△　確率　･･･②
△○○△△　確率　･･･③
△○△○△　確率　･･･④
これより、
このうちで、事象Aの条件：「5以上の目が2回連続する」を満たしに入るのは、最後の3回が○△△となる①，②，③で、
よって(条件付き確率を参照)、 ......[シ]

(3) なので、ということは、ということです。(2)では、になっていますが、それは④の場合、つまり、最後の3回が'○△△'になっていない場合があるからです。
'△△'で実験は終了します。また、△が3回続くことはないので、となるためには、最後の3回は'○△△'でなければいけません。
もっと言い換えると、，即ち、，つまりとなるのは、「5未満の目が出た回数がちょうどkである」ときは必ず「5以上の目が2回連続して出る」ということです。
実験は最大回繰り返されます。○がk回起こりますが、実験の最後の3回は'○△△'で、そこまでに○が回，△は最大k回(△から始まって△と○が交互に起きて最後が△のとき)起きるので、
　∴ ，
これを満たす最大の整数kは，よって、 ......[ス]

(4) (3)より、⇒ですが、⇒かどうかはわかりません。は、「5以上の目が2回連続して出る」かつ「5未満の目が出た回数がちょうどkである」確率です。
のとき、は、5以上の目が2回連続して出て、5未満の目が0回出る場合で、
△△　確率，よって、
のとき、は、5以上の目が2回連続して出て、5未満の目が1回出る場合で、
○△△　　確率　･･･⑤
△○△△　確率　･･･⑥
よって、
のとき、は、5以上の目が2回連続して出て、5未満の目が2回出る場合で、
○○△△　　　確率　･･･⑦
○△○△△　　確率　･･･⑧
△○○△△　　確率　･･･⑨
△○△○△△　確率　･･･⑩
よって、
の場合との場合を比較すると、⑤の'○△△'の前に'○'が付くと⑦，'○△'が付くと⑧になります。⑥の最初の△のあとに'○'が付くと⑨，'○△'が付くと⑩になります。'○'の確率は，'○△'の確率は，合わせて，となっています。の場合との場合の間にも、という関係があります。
の場合との場合を比較しても、○の回数が1回増えると、'○'のみ1回増える場合と、'○'と'△'が1つずつ増える場合とがあり、'○'と'○△'合わせて確率がなので、となります。
以上より、は初項，公比の等比数列で、 ......[セ]

　･･･⑪
　(⑪×)　･･･⑫
⑪－⑫より、
のとき、，より、
∴ ......[ソ]



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