慶大理工数学'22年[5]
半径
の球面S上に3点A，B，Cがあり、線分AB，BC，CAの長さはそれぞれ
，
，
とする。
(1) 
である。平面ABCで球面Sを切った切り口の円をTとする。Tの半径は
である。点Dが円T上を動くとき、△DABの面積の最大値は
である。
(2) 球面Sの中心Oから平面ABCに下ろした垂線OHの長さは
である。
(3) 点Eが球面S上を動くとき、三角錐EABCの体積の最大値は
である。
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解答 円Tは△ABCの外接円なのだということに気付けば、ひっかかるところはないでしょう。
......[テ]
∴ 
......[ト]円Tの中心をH，辺ABの中点をQ，円Tと辺ABの垂直二等分線QHとの2交点のうち、中心Hに関して辺ABと逆側にある方をPとして、点Dが円T上を動くとき、△DABの面積が最大になるのは、点Dが点Pに来るときで、
(AHは円Tの半径)
△DABの面積の最大値は、△PABの面積であって、
......[ナ]
(2) 球面Sの中心Oから平面ABCに垂線を下ろすと、垂線の足は切り口の円Tの中心Hに来ます(
より
)。△OHAは
の直角三角形で、 
......[ニ]
(3) 点Eが球面S上を動くとき、三角錐EABCの体積が最大になるのは、直線OHと球面Sとの2交点のうち、中心Oに関して平面ABCの逆側にある方の交点をUとして、点Eが点Uに来るときです。
(OUは球面Sの半径)
三角錐EABCの体積の最大値は、三角錐UABCの体積であって、
......[ヌ]
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