慶大理工数学'24年[1]
(1) 2024の約数の中で1番大きいものは2024だが、6番目に大きいものは
である。2024の6乗根に最も近い自然数は
である。 (2) 関数
は実数全体で定義されており、
において を満たしているものとする。数列
は漸化式 を満たしているものとする。
(i) 
ならば、すべての自然数nに対して
となることを証明しなさい。 (ii) 
ならば、
の値によらず
となることを証明しなさい。
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解答 (1)は腕づくです。(2)は、数学的帰納法とはさみうちが見えています。
(1) 
です。約数は全部で
個あり、大きい方から順に全部並べると、2024，1012，506，253，184，92，88，46，44，23，22，11，8，4，2，1です。6番目に大きいものは、92 ......[ア] 2乗して2024に近い数は、
です。3乗して45に近い数は、
，
また、
，よって、 つまり、
よって、2024の6乗根に最も近い自然数は、4 ......[イ]
(2) 
において、
･･･① 各辺に
を加えて、 
･･･④②において
とすることにより、
･･･⑤
これより④は、 
･･･⑥となります。
と③より、
これと⑤から、
これと④，⑤より、
･･･⑦
これで、
の場合は、示せているので、
と
を数学的帰納法により証明することを考えます。 (Ⅱ) 
となる自然数nについて、
と
が成立すると仮定します。 ①で
とすると、
･･･⑧
各辺に
を加えて、
②より、
よって、
･･･⑨
⑧より、
となるので、
であって、 (Ⅰ)，(Ⅱ)，数学的帰納法により、すべての自然数nについて、
と
が成立します。(証明終)
(3) もちろん、はさみうちの形を作るのですが、
のままでは、
を導けません。そこで、⑨に着目します。(2)より、
なので、①において、
とすることにより、 各辺に
を加えると、②より、
･･･⑩nを
につけかえて、
これより、 これを繰り返すと、
⑩より、
番号を付け替えて、
ここで
とすると、
よって、はさみうちの原理より、
(証明終) 別解．(2)より、
，また、⑩より、
よって、
これを繰り返し用いることにより、 ∴ 
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より、①で
とすると、
･･･③
のとき、⑦より、
と
は成立します。
，
となり、
と
は
のときも成立します。
とすると、
，はさみうちの原理より、
