慶大理工数学'24年[5]
複素数平面上で、原点Oを中心とする半径1の円，およびに内接する半径r ()の円を考える。上に点Pを固定し、Pの位置を表す複素数が1になるようにを配置する。時刻からをに沿ってすべることなく回転させる。ただし、との接点は上を反時計回りに速さ1で移動するものとする。すなわち時刻におけるとの接点を表す複素数はである。
(1) Pが上に位置するような時刻で最小のものはである。
(2) 時刻におけるの中心を表す複素数を，Pの位置を表す複素数をとすると、，である。
(3) 時刻0から時刻の間にPが動く道のりはである。
(4) 時刻0から時刻の間にPが動く道のりをとすると、である。


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
 【広告】広告はここまでです。
解答　円の内側を転がる円上の点の軌跡をハイポサイクロイドと言います。ハイポサイクロイドの曲線の長さを求める問題です。

(1) とがつねに接するようにが動くので、最初1にいた上の点が円を1周する間に接点の移動する長さはです。の半径は1なので、速さ1で時間t の間に移動する接点の回転角もt でありそのときの時刻は、 ......[ト]

(2) の中心は半径の円周上を動きます。時刻t における円の中心の回転角は接点と同じくt で、 ......[ナ]
Pが円の中心のまわりを原点と接点を結ぶ動径(回転角t )から時計回りに角φ回転しているとして、右図のように実軸方向からの回転角はです。Pから接点までの円弧の長さはです。これと上での接点の移動距離t は等しく、
よって、Pの実軸方向からの時計回り(負方向の)の回転角は
Pのの中心からの変位を表す複素数は、
つまり、

......[ニ]

(3) とすると、[ナ]と[ニ]より、

微分すると、



　(加法定理を参照)

　(半角の公式を参照)
においては、なので、
Pが動く道のりは(曲線の長さを参照)、
　(不定積分の公式を参照)
......[ヌ]

(4) (3)の結果によると、nを自然数として、時刻0から時刻の間にPが動く道のりは、[ヌ]をn倍してです。
時刻0から時刻の間にPが動く道のりはです。
従って、として、時刻0から時刻t の間にPが動く道のりについて、
よって、
ここで、とすると、となり、，より、
，
よって、はさみうちの原理より、 ......[ネ]



【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
 【広告】広告はここまでです。
　　慶大理工数学TOP　　数学TOP　　TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。

【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。
©2005-2023
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中！
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。