京大理系数学'10年乙[5]
次の問いに答えよ。
(1) nを正の整数、
とする。
は
で割り切れるが
では割り切れないことを示せ。 (2) mを正の偶数とする。
が
で割り切れるならば
または
であることを示せ。
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解答 (1)は、
のとき
で
は
の倍数、
のときは
で
は
の倍数(
は2の倍数)、
のときは
で
は
の倍数(
は2の倍数)、という具合になっています。
の場合から
の場合に行くときに、因数分解すれば2の倍数が出てくる、というわけで、数学的帰納法の枠組に乗せることができます。なお、整数を参照してください。
(Ⅰ) 
のとき、
，
は
で割り切れますが
では割り切れないので、題意は成立します。 (Ⅱ) 
のとき、題意が成立し、
として、
は
で割り切れるが
では割り切れないと仮定します。 すると、pを奇数として、
･･･①とおくことができます。
さて、
とすると、 p，
は奇数なので、
は
で割り切れますが
では割り切れません。
よって、
のときも題意は成立します。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、nを正の整数、
として、
は
で割り切れるが
では割り切れないことが示されました。
(2) qを正の奇数，nを正の整数として、正の偶数mを
とします。 (1)より、
とすると、
は
で割り切れるが
では割り切れないので、pを奇数として、 とおくことができます。
より、 中カッコ内は、
，
，･･･，
，1はいずれも奇数で、奇数個(q個)の奇数の和なので奇数です。pと中カッコ内が奇数なので、
は
で割り切れますが
では割り切れません。題意より、
が
で割り切れるので、2の指数
，mに関して、 
･･･②が成立します。
においては、 であって、qは正の奇数なので、
では②を満たす正の整数nは存在しません。また、
のときには、すべての正整数nについて
となり、②を満たす正の整数nは存在しません。
よって、②を満たすnは、
のときの
のみで、このときmは、 
または
に限られます。
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