京大理系数学'10年乙[6]
n個のボールを
個の箱へ投げ入れる。各ボールはいずれかの箱に入るものとし、どの箱に入る確率も等しいとする。どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率を
とする。このとき、極限値
を求めよ。
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解答 
は、多数の項の積の対数になるので、対数の和の形となり、区分求積法の利用が見えてきます。
全事象は、n個のボールの各1個について
通りの箱の選び方があるので、
通りです。
n個のボールを
個の箱へ投げ入れるとき、どの箱にも1個以下のボールしか入っていないのは、
個の箱のうちのn個の箱に1個ずつボールが入る場合です。
1個目のボールは、
通りの箱の選び方があります。
2個目のボールは、1個目のボールが入った箱を除く
通りの箱の選び方があります。
3個目のボールは、1個目のボール、2個目のボールが入った箱を除く
通りの箱の選び方があります。
･･････
n個目のボールは、1個目のボール、2個目のボール、･･･、
個目のボールが入った箱を除く
通りの箱の選び方があります。
これより、n個のボールの入れ方は、
通りあります。
どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率
は、
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