京大理系数学'23年前期[2]
空間内の4点O，A，B，Cは同一平面上にないとする。点D，P，Qを次のように定める。点Dはを満たし、点Pは線分OAを1：2に内分し、点Qは線分OBの中点である。さらに、直線OD上の点Rを、直線QRと直線PCが交点を持つように定める。このとき、線分ORの長さと線分RDの長さの比OR：RDを求めよ。


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解答　空間ベクトルの標準的な計算問題です。


　(ベクトルの内分・外分を参照)
Rは直線OD上の点なので、kを実数として、
　･･･①
直線QRと直線PCの交点をSとすると、Sは直線QR上の点であって、直線PC上の点でもあるので、m，hを実数として、
　(①を代入)
　･･･②
　･･･③
②を用いて、
　･･･④
③を用いて、
　･･･⑤
④＝⑤より係数を比較して(ベクトルの1次独立を参照)、
　　･･･⑥，　･･･⑦，　　･･･⑧
⑥，⑧より、
　∴ ，
⑦より、
　∴ ，
①より、
よって、OR：RD = 1：9 ......[答]



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