2次方程式　　　関連問題


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まず、簡単な2次方程式： を考えてみます。
を移項して、因数分解すると、
2個の実数α，β があるとき、だとすると、αかβ のどちらかは0です。
なぜなら、どちらも0でないとすれば、つまり、，だとすれば、だからです。
ということは、かのどちらかは0です。
つまり、，または、
従って、，または、
これを1つにまとめて、のように書きます。'±'を複号と言います。
以上より、の解は、です。 ･･･(＊)

2次方程式： () ･･･①
まず、左辺について、平方完成と呼ばれる式変形を行います。
xの2次の項と1次の項をaでくくると、 ･･･②
カッコ内について、xの1次の項の係数のとxを加えたものの2乗の形を作ります。

つまり、です。
②に代入すると、
2乗以外の部分を右辺に移項すると、
∴
のときには、(＊)を使うと、
∴
のときには、実数の解はありません。虚数も考えると解がありますが、複素数参照のこと。

は、2次方程式は実数の解を持つかどうかを判断する重要な式です。これを判別式と言います。
2次方程式①は、のときに、相異なる2個の実数解をもちます。
のときは、1個の重解：をもちます(入試問題によっては、重解を同じ解2個と考える問題もあります)。
のときは、実数解を持ちません(相異なる2個の虚数解を持ちます)。

なお、2次方程式①において、と書ける場合には、
解は、となります。
この場合には、判別式は、の形で考える方がよいでしょう。

2次方程式の解法
(1) において、，となる2数α，β がすぐに見つかるなら、左辺を因数分解して、
より、解は、
(2) において、，であって、となるような4数p，q，r，sがすぐに見つかるなら、左辺を因数分解して、
より、解は、
(3) において、左辺が簡単に因数分解できないときは、解の公式を用いる。
・と書けるときには、
　　

・の形でないときには、
　　


例．2次方程式の例
(1)
，より、左辺を因数分解して、
∴
(2)
，，より、左辺を因数分解して、
∴
(3)
簡単な因数分解は見つからないので、解の公式を使う。，，として、
∴
(4)
これも簡単に因数分解できないので、解の公式を使う。xの係数が2の倍数なので、



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