東工大数学'24年前期[1]
xy平面上の曲線に、点 ()で接する円のうち、y軸の正の部分にも接するものをとおく。aが正の実数を動くときのの中心の軌跡をC，とくにの中心をPとする。
(1) 点Pの座標を求めよ。
(2) 点Pにおける曲線Cの接線の傾きを求めよ。


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解答　勿論、(2)だけ解答してとして(1)の答だ、とすれば、効率的なのは確かですが、以下では、出題者が敢えて(1)を置いた意図を汲んで解答します。途中でミスをしてそれ以後の流れが変わってしまい、(1)だけでもできていれば合格ラインに届くのに、優秀な受験生と分かっていてため息をつきつつ不合格にした経験があるのでしょう。

円と曲線との接点はです。を微分すると、，における接線の傾きは1，法線の傾きはです。点を通る法線は、
：
(1) 点Pは法線上に存在し(円と放物線を参照)、その座標をとおくと、円はy軸に接するのでその半径はt であり、点Pと接点との距離もt です。よって、


　∴
複号の各々について、点Pのy座標(y軸との接点のy座標も同じです)は、
(複号同順)
y軸の正の部分と接するので、は不適です。
よって、の中心Pは、 ......[答]

(2) 円と曲線との接点における接線の傾きはよりa，法線の傾きはです。点を通る法線は、
：
注．とするとと一致します。
円の中心は法線上に存在し、その座標をとおくと、円はy軸に接するのでその半径はt であり、点と接点との距離もt です。よって、




∴
複号の各々について、点のy座標(y軸との接点のy座標も同じです)は、

(複号同順)
y軸の正の部分と接するので、は不適です。
よって、点の座標はです。
注．とすると、の座標はとなりPと一致します。
軌跡C上の点をとして、
，
　(合成関数の微分法を参照)
点における曲線Cの接線の傾きは(媒介変数表示された関数の微分法を参照を参照)、
　(∵ )
ここでとして、Pにおける接線の傾きは、
　(分母の有理化を参照)
......[答]



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