東工大数学'24年前期[3]
xy平面上に、点A
，B
，C
(ただし
)をとる。点A，Bを通る直線を
とし、点Cを通り線分BCに垂直な直線をkとする。さらに、点Aを通りy軸に平行な直線と直線kとの交点を
とし、点
を通りx軸に平行な直線と直線
との交点を
とする。以下、
に対して、点
を通りy軸に平行な直線と直線kとの交点を
，点
を通りx軸に平行な直線と直線
との交点を
とする。
(1) 点
，
の座標を求めよ。 (2) △
の面積
を求めよ。 (3) 
を求めよ。
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解答 試験会場でとても思いつけないような発想をすれば、もっとラクに解答することも可能なようですが、以下では素直に2項間漸化式の問題として解答します。計算が猛烈で時間不足になりかねませんが、簡単な解法を1時間追求するのであれば、その1時間で計算してしまった方がよいと思います。
点A，Bを通る直線
：
･･･①
直線BCの傾きは
，これと垂直な直線の傾きは
，
直線k：
･･･②
点Aを通りy軸に平行な直線：
と直線kとの交点
は、②で
として、
よって、
の座標は
･･･③
点
を通りx軸に平行な直線：
と直線
との交点
は、①で
として、
よって、
の座標は
･･･④
点
を通りy軸に平行な直線：
と直線kとの交点
は、②で
として、 よって、
の座標は
･･･⑥
点
を通りx軸に平行な直線と直線
との交点
は、①で
として、 ⑦で、
とおくと、 ⑦－⑨より、
よって、
，⑩より、 
･･･⑪⑧に代入して、
･･･⑫⑥より
の座標は
ですが、これは⑧より
なので、
の座標は
です。⑪，⑫より、
の座標は、
，
の座標は、
.....[答]
(2) △
の面積
は、△ABCの面積と△
の面積の和として、
で与えられます。 △ABC
より
なので、⑫を用いて、△
∴ 
......[答]
(3) 
のx座標：(Bのy座標－
のy座標) = OA：OB = a：b より、
：(Bのy座標－
のy座標) = 
：b ⑫を用いて、
より、ここで
とすると、
より
，
(等比数列の極限を参照)∴ 
......[答]
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の座標を
とします。④より、
，
･･･⑤
の座標は
の座標は
なので、
･･･⑨
･･･⑩
，初項：
の