東大理系数学'10年前期[6]
四面体OABCにおいて、4つの面はすべて合同であり、
，
，
であるとする。また、3点O，A，Bを含む平面をLとする。
(1) 点Cから平面Lにおろした垂線の足をHとおく。
を
と
を用いて表せ。 (2) 
をみたす実数tに対して、線分OA，OB各々をt：
に内分する点をそれぞれ
，
とおく。2点
，
を通り、平面Lに垂直な平面をMとするとき、平面Mによる四面体OABCの切り口の面積
を求めよ。 (3) tが
の範囲を動くとき、
の最大値を求めよ。
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解答 空間的な発想力とか思考力というよりも、面倒な計算を強いられる空間ベクトルの問題です。体力派の諸氏以外は、基本問題の(1)はともかく、実戦的には後回しにするのが無難だろうと思います。
(1) 4つの面が合同、ということで、右図のように、
∴ 
∴ 
∴ 
Hは△OABを含む平面L上の点なので、α，β を実数として、 CHは平面Lに垂直なので、
，
，よって、 
･･･①
･･･②①，②を連立して、
，
∴ 
......[答]
(2) 
，
ですが、直線
上の点をKとして(共線条件を参照)、 
･･･③Hが線分
上に位置するときのt，pの値を調べます。(1)の結果と③の係数を比較して、 ③より、
･･･④と書けるので、
のときの点
，点
を特に点P，点Qとすると、Hは線分PQ上の点になっています。また、点Hを通り平面Lに垂直な平面は△CPQを含む平面であり、2点
，
を通り平面Lに垂直な平面Mは、(△CPQを含む平面であることを含めて)△CPQに平行です。さらに言えば、△CPQはP，Qを通る平面Mによる四面体の切り口なので、△CPQの面積は、
のときの
，つまり、
です。
従って、平面Mによる四面体OABCの切り口の面積を求めるためには、△CPQの面積を求め、相似比を考えることになります。
ここで、右図のように、△CPQと平行で辺ABを通る平面(従って平面Lに垂直)と直線OCとの交点をDとすると、△CPQと△DABは相似で、 PQ：AB = OP：OA = 
：1 OP：OA = OQ：OB = OC：OD = 
：1 より、
，
∴ 
∴ 
⑤より、△CPQの面積
は、 (i) 
，
が線分OP上、線分OQ上にあるとき(端点Oを除く)、つまり、
のときは、⑤と同様に、 ∴ 
･･･⑥ 注．上記で、直線OHと直線BAとの交点をEとして、④より、
とわかるので、
∴ 
とすることもできます。
(ii) 
，
が線分PA上、線分QB上にあるとき(両端を除く)、つまり、
のとき、平面Mと直線OC，直線BC，直線ACとの交点を
，
，
として、平面Mによる四面体OABCの切り口は、△
ではなく、△
から△
を取り除いてできる四角形
になります。 ∴ 
これより、△
と△
の面積の比は、 △
の面積は、
のときの
と同じ式で与えられ、
となるので、切り口の四角形
の面積
は、 以上まとめて、
......[答]
において、
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，
，
：
=
：1 ･･･⑤
，
，
を調べます。
：AB =
：OA = t：1
：
=
：1
= 1：
：OD = t：1，
：OC = 
：
：△
= 
：
，
と△
の比は
は
において、
においては
ゆえ、
のとき最大値：
)
を動くときの
の最大値は、