東大理系数学'11年前期[4]
座標平面上の1点P
をとる。放物線
上の2点Q
，R
を、3点P，Q，RがQRを底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき、△PQRの重心G
の軌跡を求めよ。
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解答 問題状況の設定は目新しいですが、実質は対称式を利用する古典的な問題です。なお、座標平面における内分・外分を参照してください。
QRの中点Mは、
△PQRの重心GはPMを2：1に内分する点で、その座標は、
よって、
より、
∴ 
Q，Rは異なる2点で、異なる実数α，β が存在するために、α，β を2解とするxの2次方程式
は、相異なる2実数解をもち、この2次方程式の判別式Dについて、
･･･②
より、
直線QRの傾きは、
直線PMの傾きは、
①より、
ここで、条件②を考慮すると、③より、
となるので、②より、
∴ 
･･･⑤
④，⑤より、求める軌跡は、曲線：
の
の部分。 ......[答]
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･･･①
･･･③
･･･④
