東大理系数学'19年前期[3]
座標空間内の5点A，B，C，D，Eを考える。線分ABの中点Mと線分ADの中点Nを通り、直線AEに平行な平面をαとする。さらに、pはをみたす実数とし、点Pを考える。
(1) 八面体PABCDEの平面による切り口および、平面αの平面による切り口を同一平面上に図示せよ。
(2) 八面体PABCDEの平面αによる切り口が八角形となるpの範囲を求めよ。
(3) 実数pが(2)で定まる範囲にあるとする。八面体PABCDEの平面αによる切り口の内，の部分を点が動くとき、座標平面上で点が動く範囲の面積を求めよ。


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解答　手間のかかる空間図形の問題ですが、八面体の各辺と平面との交点をコツコツ調べていけば、できない問題ではありません。

まず、平面αの方程式を求めておきます。
　･･･①

　(はy軸に平行なベクトルです)
平面αは、点Mを通り、2つのベクトル，によって張られる平面であって、s，tを実数として、平面α上の点Fは、
これより、，，，平面α上の点について、
　　･･･②
という関係(②は平面αの方程式です)があります。

(1) 八面体PABCDEの頂点P，A，C，Eは、平面上の点です。八面体を平面で切ると、切り口は四角形PAEC (なので、P，E，Cが一直線上に並ぶことはありません)です。
平面αの平面による切り口は、②より、直線になります。
よって、図示すると右図(四角形PAECは黒線、直線は赤線)。
注．(1)は、以降の問題を考える上で、y軸に平行な方向から眺めて考えるように、という誘導になっているだけなので、pについて場合分けして答える必要はないと思いますが、pの値によって平面αと八面体の位置関係が変わるので、(辺PAと平面αが交点を持ち、辺PCと平面αは交点を持たない)， (点Pが平面α上)， (辺PCと平面αが交点を持ち、辺PAと平面αは交点を持たない)で、場合分けして解答すれば厳密ですが、(2)の設問が無意味になります。　

(2) 八面体PABCDEの平面αによる切り口が八角形となるのは、右図のようになる場合です。平面αと八面体PABCDEの辺PC，辺PB，辺PDとが交点Q，R，Sを持ち、平面αと八面体PABCDEの辺AB，辺ADとが交点M，Nを持ち、平面αと八面体PABCDEの辺EB，辺ED，辺ECとが交点T，U，Vを持ち、切り口が八角形QRMTVUNSになります。平面αと八面体PABCDEの辺PA，辺BC，辺CD，辺EAとは交点を持ちません。
のとき、点Pは平面αから上側(原点Oと同じ側)にあり、点B，C，Dも同じ側にあります。平面αは、辺PAとは交点を持ちますが、辺PC，辺PB，辺PDとは交点を持たず、切り口が六角形になります。のとき、点B，点C，点Dは、点Pと平面αの逆側にあり、平面αは辺PCとも辺PBとも辺PDとも交点を持ち、切り口が八角形になります。よって、 ......[答]
(3) のときの状況を、y軸負方向から見た場合と、z軸正方向から見た場合について、右図に示します。

平面αと辺PCの交点Qの座標を求めます。平面上で、辺PCは、直線上にあります。これと②を連立すると(2直線の交点を参照)、


∴ ， (②より)，よって、Q　･･･③
平面αと辺PBの交点Rの座標を求めます。右上図で、辺PDとの交点Sと、辺PBとの交点Rは重なって見えます。また、点Bと点Dは点Oに重なって見えます。辺PBと辺PDは線分POに重なって見えます。右上図で、直線PO：と②を連立すると、

∴ ，
右下図で、点Pは点に重なって見えます。点Rのy座標をyとして点Rは点に重なって見えます。直線PBは、平面上でとなりますが、ここで、とすると、
よって、R　･･･④　(本問には無関係ですが、SはRとy座標の符号が逆になります)
八面体PABCDEの平面αによる切り口のうち、，の部分を点が動くとき、座標平面上で点が動く範囲は、右図のようになります。③，④，①より、点Q，点R，点Mは平面上の点，点，点に重なって見えます。
求める面積は、
......[答]



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