東大理系数学'19年前期[4]
nを1以上の整数とする。
(2) 
は整数の2乗にならないことを示せ。
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解答 (2)は、互いに素である2個の奇数の積は平方数でない、とは言えないので、注意が必要です。例えば、
と
は互いに素ですが、両者の積
は平方数です。
(1) 
と
の最大公約数をmとします。k，lを整数として、 
･･･①
･･･②とおけます。②－①×5より、
は整数なので、mは4の約数であり、
に限られます。･･･(＊)・nが奇数のときpを整数として、
とおくと、 よって、
は4で割ると2余る数で、2の倍数ですが4の倍数ではありません。このとき、 よって、
は4で割ると2余る数で、2の倍数ですが4の倍数ではありません。
従って、(＊)より、
と
の最大公約数は
です。 ・nが偶数のときpを整数として、
とおくと、 は奇数です。
は奇数です。(＊)より、
と
は1以外の奇数の約数を持ちえないので、最大公約数は
です。 以上より、nが奇数のとき
，nが偶数のとき
......[答]
(2) 
となる整数Mを探す、という方針も考えられますが、
のとき、
ですが、
とするときの、
と145の差が小さく、簡単に行きそうもありません。実際にやってみると、Mの取り方に規則性がなく行き詰ります。 そこで、(1)の利用を考えることになります。
・nが偶数のとき、(1)より、
，
は互いに素なので、
を素因数分解したときに素数pを含むと、
を素因数分解したときに素数pを含みません。
が平方数になるためには、
を素因数分解したときに素数pを偶数個含まなければならないので、そもそも
を素因数分解したときに素数pを偶数個含むことになります。つまり
は平方数である必要があります。qが整数のとき、
，
は平方数ですが、その差は、
のとき、 であって、平方数
に対して、
との差が1である
は平方数になり得ません。
が平方数になり得ないので、
は平方数になりません。 ・nが奇数のとき、(1)より、
，
は最大公約数2を持ちます。 p を0以上の整数として、
とおくと、 
は4の倍数ですが、nが偶数のときと同様に、
が平方数であるためには、
と
がともに平方数でなければなりません。s，tを整数として、
･･･①とおけます。
は5で割ると2余る数です。mを整数、rを
を満たす整数として、
とおく(剰余類を参照)と、 
のとき
，その各々に対して、
を5で割った余りは、0，1，4，4，1です。
を5で割ったときに余り2になることはありません。よって、等式①が成立することはありません。
従って
と
がともに平方数になることはなく、
は平方数になりません。以上より、
が整数の2乗にならないことが示されました。
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と
の最大公約数
を求めよ。
