東大理系数学'20年前期[1]
a，b，c，pを実数とする。不等式
をすべて満たす実数xの集合と、
を満たす実数xの集合が一致しているとする。
(1) a，b，cはすべて0以上であることを示せ。
(2) a，b，cのうち少なくとも1個は0であることを示せ。
(3) 
であることを示せ。
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解答 問題文に、「すべて0以上」、「少なくとも1個」というような言葉が出てくるので、背理法で証明します(証明の技巧を参照)。解答を書きやすくするために集合を用いて、
，
，
，
，
とします。また、方程式
の判別式：
，解を
，
(ともに実数のときには
とする)，方程式
の判別式：
，解を
，
(ともに実数のときには
とする)，方程式
の判別式：
，解を
，
(ともに実数のときには
とする)とします。
条件：
を(＊)とします。
(1) a，b，cのうちどれか一つ、例えばa (b，cでも同様です)が
だと仮定します(
のグラフは右図のような上に凸な放物線。2次方程式の一般論を参照)。
のとき、
かつ
となるqについて、
，
となるので、
とはなり得ず、(＊)は成立しません。
なので、
とはなり得ず、(＊)は成立しません。以上より、a，b，cのうちどれか一つが負だと仮定すると(＊)が成立せず、仮定は誤りで、a，b，cはすべて0以上です。
(2) (1)を考慮して、a，b，cがすべて正だと仮定します(
のグラフは右図のような下に凸な放物線。2次方程式の一般論を参照)。
のとき、
･･･①
のとき、
･･･②
のとき、
･･･③
のとき、
･･･④
のとき、
･･･⑤
のとき、
･･･⑥
，
，
の中に実数があれば(①または③または⑤のとき)、そのどれよりも小さく、かつ、
となるq，
あるいは、
，
，
の中に実数がなければ(②かつ④かつ⑥のとき)、
となるq，
について、
，
となるので、
とはなり得ず、(＊)は成立しません。
よって、a，b，cがすべて正だと仮定すると(＊)が成立せず、仮定は誤りで、(1)を考慮して、a，b，cのうち少なくとも1個は0です。
(3) (2)より、a，b，cのうち少なくとも1個は0なので、例えば
(
の場合、
の場合も同様です)とします。 (i) 
のとき、
などより問題文の不等式は
となりますが、これは成り立たないので、
となり、
なので、
で、(＊)は成立しません。 
かつ
も同様です。よって、
より、
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のとき、
，よって、
かつ
のとき、
，
，
より、
かつ
のとき、
，
，
⇔ 
......[答]