東大理系数学'21年前期[2]
複素数a，b，cに対して整式
を考える。iを虚数単位とする。
(1) α，β，γを複素数とする。
，
，
が成り立つとき、a，b，cをそれぞれα，β，γで表せ。 (2) 
，
，
がいずれも1以上2以下の実数であるとき、
のとりうる範囲を複素数平面上に図示せよ。
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解答 (2)は第1問と同じようなことになってしまいますが、こちらは動くものが3つです。
②＋③より、
，①を代入し、
，
(複素数の計算を参照)より、
∴ 
これと①を②へ代入し、
(2) 
，(1)の結果より、 
(x，yは実数)とおくと、
･･･④，
･･･⑤3文字動くのでは大変なので、2式より1文字ずつ消去して考えます。
④＋⑤より、
∴ 
，
より、 
，つまり、
(左の等号は
かつ
のとき、右の等号は
かつ
のとき) ･･･⑥
，つまり、
(左の等号は
かつ
のとき、右の等号は
かつ
のとき) ･･･⑦
，つまり、
(左の等号は
かつ
のとき、右の等号は
かつ
のとき) ･･･⑧
かつ
かつ
より、求める範囲は、⑥かつ⑦かつ⑧です。図示すると右図黄緑色着色部(境界線を含む)。(不等式の表す領域を参照)
追記．右下図に、求める範囲の境界線上、頂点で、α，β，γがどのような値をとるか、を書いておきます。どうして、右上図のような範囲になるかがわかると思います。
注，④，⑤を、
と見ると、
，
，
，
，
，
，
として、
より、αが1から2まで動くときに、
となる点
を1頂点として
，
で作られる平行四辺形
(
，
，
，ベクトルの1次独立を参照)が、頂点
が
から
まで動くように平行移動(
の方向に)して通過する部分が求める範囲(右図薄緑色部分)になります。
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･･･①，
･･･②，
･･･③
，
，
......[答]
，
(左の等号は
のとき，右の等号は
のとき)
より、
，
，よって、
∴ 
，
より、
，
(左の等号は
のとき、右の等号は
のとき)
より、
，
，よって、
④×2－⑤より、
∴ 
，
より、
，
(左の等号は
のとき、右の等号は
のとき)
より、
，
，よって、