早大理工数学'13年[2]
複素数
と自然数
について、複素数
を実数
，
を用いて
と表す。次の問いに答えよ。
(1) 
(
)であることを示せ。 (2) すべてのnについて
が成り立つ定数p，qを求めよ。 (3) どんなnについても
は5の整数倍でないことを示せ。 (4) 
(
)は実数でないことを示せ。
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解答 連立漸化式の問題です。(3)では(2)が、(4)では(1)，(3)が、ヒントになっていることに気づく必要があります
(1) 
のとき、
より、 
(
)これを繰り返し用いて、
(
) (∵ ①)
(2) ②より、
･･･③よって、
，
......[答]
①，②より、
③より、
，
が整数なら
も整数なので、帰納的にすべての自然数nについて、
は整数です(数学的帰納法を参照)。また、
，
は5の倍数ではありません。
のとき、
，
，･･･，
，
のすべてが5の倍数でなく、
が5の倍数と仮定します。kを整数として、
とおくことができます。
③より、
これより、
が5の倍数となり、仮定と矛盾します。よって、
を5の倍数とした仮定は誤りで、
は5の倍数ではありません。
従って、すべての自然数nについて、
は5の倍数ではありません。
(4) 背理法を用いて証明します。
は実数ではありません(複素数を参照)。
も実数ではありません。
のとき、
，
，･･･，
，
のすべてが実数でなく、
が実数、つまり、
と仮定します。(1)より、
ですが、
のとき、
，つまり、
となり、(3)の結果と矛盾します。よって、
を実数とした仮定は誤りで、
は実数ではありません。
従って、すべての自然数nについて、
は実数ではありません。
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，
･･･①
(
)
，
(
) ･･･②