早大理工数学'21年[3]
複素数
，
に対応する複素数平面上の点を
，
とする。このとき、以下の問に答えよ。
(1) 複素数平面上の点
，
と原点Oの3点は一直線上にあることを示せ。 (2) 点
が直線AB上を動くとき、
の実部をx，虚部をyとして、点
の軌跡をx，yの方程式で表せ。 (3) 点
が三角形OABの周および内部にあるとき、点
全体のなす図形をKとする。Kを複素数平面上に図示せよ。 (4) (3)の図形Kの面積を求めよ。
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解答 
という変換で三角形がどんな図形に移るか、という問題です。
(2) 
，
は、虚部が等しいので、直線AB上の点
は、rを実数(
)として、
と表せます。
より 
，
･･･①
(3) 線分AB上の点は、①において
より、zが線分AB上にあるとき、点
は、放物線：
の
の部分に来ます。線分OA上の点zは、
として、
となるので、
(
)より、点
は、原点Oと点
を結ぶ線分、つまり、直線
(
)の
の部分に来ます。
線分OB上の点zは、
として、
となるので、
(
)より、点
は、原点Oと点
を結ぶ線分、つまり、直線
(
)の
の部分に来ます。(1)より
，
，Oは一直線上にあるので、三角形OABの内部は、直線
，放物線
で囲まれた内部に移ります。よって、Kを図示すると、右図黄緑色着色部(境界線を含む) ......[答] 注．三角形OABの内部が、右図の境界線の内部に移ることについては、線分AB上の点
について
(
は放物線
の弧CD上の点)として、線分OP上の点
(
)に対して
が
より線分
上にあることから明らかです。 (4) Kの面積Sは、直線
と放物線
とで囲まれる部分(Kは
の範囲にある)の面積で、
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，
と原点
，点
の
......[