早大理工数学'23年[1]
nを自然数として、整式
を
で割った余りを
とおく。以下の問に答えよ。
(2) 全てのnに対して、
と
は7で割り切れないことを示せ。 (3) 
と
を
と
で表し、全てのnに対して、2つの整数
と
は互いに素であることを示せ。
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解答 簡単そうに見えますが、やってみるとつまづきます。
とおくと、両辺に
をかけて、 よって、
･･･①
･･･② ......[答]
(2) 常套的な方針で考えるなら、背理法で、
，
を整数として、
，
と仮定すると、
，
が7の倍数になって矛盾、という風に進めたいわけです。やってみると、 
･･･①'
･･･②'①'×3－②'とすると、
となってうまく矛盾が導けず困ります。
そこで、
とやってどうなっているのか確認してみよう、ということになります。 よって、
，
よって、
，
，
を7で割った余りは、それぞれ、3と2です。
，
を7で割った余りは、それぞれ、3と2です。
，
を7で割った余りは、それぞれ、3と2です。(3)をやってみると納得が行くのですが、これで、常套的方針では矛盾がうまく導けない、ということが分かります。
①，②を使って
，
を求めると、 となり、nが何であっても、
，
を7で割った余りは、それぞれ、3と2だということになりそうです。そこで、漸化式を用いて、
命題(＊)：全てのnに対して、
，
は、7で割った余りがそれぞれ3と2になる整数である
(Ⅰ) 
のとき、
，
は整数であり、7で割った余りは、それぞれ、3と2で、命題は成立します。 (Ⅱ) 
のとき、
，
が整数であり、7で割った余りが、それぞれ、3と2であると仮定し、p，qを整数として、 
，
とおくと、①，②より、
よって、
，
も整数であり、7で割った余りが、それぞれ、3と2になり、
のときにも命題は成立します。 (Ⅰ)，(Ⅱ)，数学的帰納法により、全ての自然数nに対して、
，
は整数であり、7で割た余りは、それぞれ、3と2になります。
即ち、全てのnに対して、
と
は7で割り切れません。
(3) ①×3－②より、
①×2－②×3より、
よって、
，
......[答] ･･･③
命題：全てのnに対して、整数
，
が互いに素である
(Ⅱ) 
のとき、
，
が互いに素だと仮定(仮定1とします)し、
，
が互いに素であることを背理法で示します。 
，
が互いに素ではない、つまり、mを2以上の整数、p，qを整数として、
，
とおけると仮定(仮定2とします)します。(2)より、
，
は7の倍数でなく、mも7の倍数ではありません。
③より、
，
(2)で数学的帰納法により証明した命題(＊)により、
，
は整数です。mは7の倍数でないので、
，
はともに、7の倍数であり、
，
は整数です。
よって、
，
はともにmの倍数となり、
，
が互いに素だとした仮定1に反します。即ち、
，
が互いに素ではない、とした仮定2は誤りで、
，
は互いに素で、
のときにも命題が成立します。(Ⅰ)，(Ⅱ)，数学的帰納法により、全てのnに対して、整数
，
が互いに素です。
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と
を、それぞれ
と
を用いて表せ。
より、
，
です。
のとき、
，
は互いに素です。