非慣性系におけるエネルギー保存
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
非慣性系においても力学的エネルギー保存則を考えることができます。以下では、幾つかの例で、非慣性系において慣性力の仕事を考えることにより、力学的エネルギー保存を適用できることを確かめます。
[1] 最初の例は、慣性力が一定で、相対加速度(非慣性系で見た加速度)も一定の場合です。右図のように、水平面と角θをなす質量Mの可動斜面上に質量mの物体が置かれていて、物体と斜面の間に摩擦はないものとする。この状態で時刻
以後、斜面に斜面を押す方向に水平方向の力Fを加えて、斜面に一定加速度aを与えると、斜面上で見て大きさ
の慣性力が発生する。
のとき、物体は斜面上を上っていく。
斜面上で見た斜面に沿う方向の物体の運動方程式は、斜面を上る方向の物体の加速度を
として、
･･･①
は一定で、斜面上で見て物体の運動は等加速度運動です。
のとき、時間t の間に、斜面を上る物体の速度は
となり、物体は斜面上を
だけ上ります。水平方向の変位は
です。物体は鉛直方向に
上り、物体は重力の位置エネルギー
と運動エネルギー
を得るのですが、これらのエネルギーを供給しているものは何でしょうか？
①を用いると、物体が得る力学的エネルギーは、
･･･②②右辺は、移動方向と角θをなす力
が距離
だけ働くことによって発生する仕事と見ることができます。つまり、これは、慣性力
のした仕事であり、②は斜面上で見た力学的エネルギー保存の式と見ることができます。
この状況を床上で見て考えてみます。
斜面と物体の間には垂直抗力Nが働くので、
床から見た斜面の運動方程式は、
･･･③
床から見た物体の鉛直方向の運動方程式は、物体の加速度の鉛直成分をbとして、
･･･④
床上で見ても、斜面上で見ても、物体の鉛直方向の加速度は一致します。つまり、
･･･⑤
⑤を④に代入すると、①より、 ∴ 
(これは、斜面に垂直な方向の力のつり合いを意味します。つまり⑤が成り立つとき、物体は斜面に沿う方向にのみ運動します)③より、
(∵ ①) ･･･⑥
床上で見ても、斜面上で見ても鉛直方向の上昇距離は等しく、時刻t において、重力の位置エネルギーの増加分は、 
･･･⑦
における力学的エネルギーは0です。斜面は一定加速度で運動するので、時刻t における運動エネルギーは、
です。
斜面上で見た物体が斜面を上る速度は
ですが、斜面が速度
で水平方向に動くので、右図のように、床から見た物体の速度の大きさ
の2乗は、余弦定理より、よって、時刻t における物体の運動エネルギーは、
･･･⑧
における床から見た位置エネルギーは⑦であって、床から見た力学的エネルギーは、
(∵ ⑧)
①より、
つまり床から見てエネルギー保存を考えると、外部から加えた力Fが、斜面を移動させた距離
だけ働いたとした仕事に一致します。重力の仕事は、重力の位置エネルギーとして考えているので、系に働く外力はFのみで、この結果は当然ですが、②式より、非慣性系においても、慣性力の仕事を考えることにより、基準系における力学的エネルギー保存則と矛盾しない結果が得られることを示しています。
[2] 第2の例は、慣性力は一定だが相対加速度(非慣性系から見た加速度)が一定にならない例です。質量Mの可動台上に固定された杭があり、杭にばね定数kのばねが取り付けられて逆の端に質量mの物体が取り付けられている。全て静止しているところに外力
を与えて、台を一定加速度aで運動させる。運動が始まってからばねが最大の伸びになったときのばねの伸びdを求める。
台上で見ると、ばねの伸びは
(フックの法則を参照)，物体の加速度をbとして、物体は慣性力を受けるので、物体の運動方程式は、 ∴ 
これは角振動数
，振動中心
の単振動を表します。ばねの伸びが最大になるまでの時間
は周期の
で、
，はじめ(
，
)振動端にいたので、振幅Aは、
･･･①
のとき、
∴ 
∴ 
......[答]台上で見ると、運動が始まった時点でも時刻
においても、物体の運動エネルギーは0です。時刻
におけるばねの弾性エネルギーは
で、慣性力がした仕事は
，よって台上で見た力学的エネルギー保存は、
∴ 
となり、同じ結果が得られます。
これを外部から見て解くとどうなるでしょうか？
小球の位置(ばねの縮み)をx (
)として、
台の運動方程式：
(a：一定) ･･･②
物体の運動方程式：
･･･③ 外部から見て、時刻tにおける台の速度は
，台の位置(
の位置)は
，物体の位置は、
台上で見た速度(相対速度)は、①より、 これより、物体の速度は、
，物体の加速度は、
台上で見た物体の加速度(相対加速度)は、
ばねの伸びが最大になるまでの時間を
として、このとき、床から見て、台も物体も速度は
、物体の移動距離は
(
)床から見た物体の加速度
，速度
は、 
(∵ ①，③)床から見て、はじめのエネルギーは0で、
には運動エネルギー
と弾性エネルギー
があり、
力
が速度
で働くときの仕事は、 よって、力
のした仕事が、運動エネルギーと弾性エネルギーの和になり、
，
より
が得られます。ですが、
，
が時間変化する場合には、床上で見ると仕事が積分計算になり、台上で見て力学的エネルギー保存を考える方が計算がラクなことに注意してください。
[3] 慣性力も相対加速度も一定だが、エネルギーが保存しない場合です。床に置かれた質量Mの台上に質量mの物体が置かれている。物体と台の間には、摩擦力が働く。最初に静止していて、台にx軸正方向の外力Fを及ぼして一定加速度aを与えるとき、外力をかけ始めてから時間t の間に物体が台上で動く変位dを求める。静止摩擦係数
，動摩擦係数μについて、
とすると、台上で見て
となり、慣性力が最大静止摩擦力を越え、物体は台上を滑り、物体には動摩擦力
が働き(摩擦力を参照)
より台上で見て物体は左に動く。
台と物体の座標の原点を一致させ、物体の加速度をbとして、
床で見た台の運動方程式は、
･･･①
床で見た物体の運動方程式は、
∴ 
･･･②
床から見て、台の位置
，台の速度
，物体の位置
，物体の速度
台上で見た物体の加速度を
として、運動方程式：
∴ 
台上で見た物体の相対位置
，相対速度
･･･③ 
......[答] ･･･④台上で見てエネルギーを考えてみます。③より、時刻t における物体の運動エネルギーは
，慣性力のした仕事は
，動摩擦力(物体の運動方向に仕事をする)のした仕事は
，台上で見たエネルギーの原理の式は、 ④と同じ結果が得られます。
床から見てエネルギーを考えると、時間t 経過後の運動エネルギーは、②より、
①より、力
のした仕事：
x軸正方向の摩擦力
が物体にした仕事
床から見たエネルギーの原理の式は、 ∴ 
④と同じ結果になりますが、台上で考える場合よりも面倒です。
[4] 次は、慣性力が一定でなく、相対加速度も一定でない例です。
福岡大'22年[3] 床上に質量
の台があり、床と台の間に摩擦は働かない。質量mの小球と台上の壁をばね定数kのばねでつなぎ、壁に向って小球に速度
を与える。最初にばねが最も縮んだ時のばねの縮みdを求める。
ばねが最も縮んだときの小球と台の速度をv (小球は台に対して止まるので両者の速度は一致する)とします。最初にばねが最も縮んだときと、最初の状態との運動量保存より、 
∴ 
･･･①最初にばねが最も縮んだときと、最初の状態との力学的エネルギー保存より、
･･･②①を用いて、
∴ 
......[答] ･･･③
運動方程式を立てて考えてみます。台の加速度をA，ばねの縮みをxとし、床上で見て、台の運動方程式は、 
･･･④台上で見た小球の加速度をaとし、台上で見て、小球の運動方程式は、
･･･⑤④＋⑤より、
∴ 
⑤に代入して、
∴ 
これは、角振動数
の単振動を表します。
において
で
で
になるとして、
の位置が小球の振動中心(速さ最大)で、最初にばねが最も縮んだとき、振動端です。単振動の振幅はdです。単振動の公式：
より、 
∴ 
③が得られます。
ここで、②の代わりに、台上で見たエネルギー保存を考えてみます。
台上では、最初は小球の運動エネルギー
，最初にばねが最も縮んだときには、小球は台に対して静止するので、運動エネルギーはありません。ばねの弾性エネルギーは、ばねがd縮んでいるので
です。弾性エネルギーを考えるので、ばねの弾性力を除くと、小球が受ける力は左向きの慣性力
のみです。慣性力のした仕事Wは、最初にばねが最も縮む時刻を
として、 
(慣性力は左向きなのでマイナスがつく)
(f-xグラフで三角形の面積として求めてもOK)
∴ 
となり、台上で見て慣性力の仕事を考えても③が得られます。この例では、慣性力が時間依存・位置依存するので、基準系で考える方が計算がラクです。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
物理基礎事項TOP 物理TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2025(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
(∵ ⑥)
(
なので
，慣性力は左向きで
)
∴ 
)