に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、
はすでに
で与えられたものと同じものを表す。また、問に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、はすでにで与えられたものと同じものを表す。また、問1，問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし、重力加速度の大きさは
とし、摩擦や空気抵抗、小球の大きさと回転の影響は無視し、衝突はすべて完全弾性衝突とする。
図1のように、鉛直な壁があり、水平な床面から高さRの位置より上には点Oを中心とする半径Rの半円筒状のくぼみがある。半円筒の下端に質量Mの小球Aが静止しており、左から質量mの小球Bを速さvで水平に衝突させる。衝突によって小球Aは水平方向の速さVを得て、半円筒に沿った滑らかな運動を開始する。運動はすべて同一鉛直面内(すなわち、図1の紙面内)で起きているものとする。
(1) 図2のように小球Bが速さ
で左向きに跳ね返されるとき、運動量保存の法則から
，
と表せる。これより、小球Bが左向きに跳ね返される条件はMとmを用いて
と表せる。さらに、小球Bが床面に落下する地点と壁の距離
も、m，M，V，R，
を用いて
と表せる。
のとき、小球Aは半円筒の中心Oと同じ高さまで登る。つまり、
のとき、小球Aは半円筒の中心Oよりも低い高さまで登ったのちに半円筒に沿って下ってくる。そして半円筒の端から放物線を描いて床面に落下する。ここで、小球Aの落下地点が小球Bの落下地点と同じであるとき、Mとmの関係は
と表せる。
(2) 図3(a)のように、小球Aが半円筒の中心Oよりも高い位置まで登り、角度θのときに半円筒の壁から離れるとする。離れる瞬間における小球Aの速さ
は
，R，θを用いて
と表される。このとき、衝突直後の速さVも同様に
，R，θを用いて
と表せる。
の場合のみである。これを用いると、はじめの位置に落下する直前における小球Aの水平方向左向きの速さ
は、
とRを用いて
と表せ、鉛直方向下向きの速さ
も
とRを用いて
と表せる。そして、小球Aが床面に落下する地点と壁の距離
は
，R，
，
を用いて
と表せる。
の場合のみであることを示せ。
(3) 速さVが十分に大きい場合を考える。小球Aは図4(a)のように半円筒の上端から水平投射され、壁から距離
の床面に落下する。一方、落下したときの速さと角度で、落下した位置から小球Aを逆向きに投げ返すと、図4(b)のように半円筒を逆向きに周り、下端から速さVで水平投射され、壁から距離
離れた位置で床面に落下する。
は、速さVが大きくなるにつれて
に近づく。その理由を簡潔に述べよ。
･･･① 
......[ア]
･･･② 
......[イ]
･･･③
で割ると、
∴ 
......[ウ]
∴ 
･･･⑤
は、水平方向に速さ
で時間
進む距離として、
......[カ]
∴ 
......[キ]
のとき、小球Aが衝突地点に戻ってきたときの速さはVです。小球Aの落下地点が小球Bの落下地点と同じである条件は、
より、④を用いて、
∴ 
......[ク]
(2) 角度θのとき、小球Aが壁から離れるので小球Aが壁から受ける垂直抗力は0です。円運動する小球Aに働く向心力は小球Aに働く重力のOに向かう成分で右図より
，円運動の運動方程式(不等速円運動を参照)は、
･･･⑥ ∴ 
......[ケ]
∴ 
......[コ]
，鉛直方向下向きの速さ
は、角度θのときの小球Aの速度の水平方向成分が
，鉛直方向成分が下向きを正として
であって、
，また、等加速度運動の公式より、
，
，
として、
......[サ]
∴ 
......[シ]
∴ 
(
)
は、速さ
で時間
進む距離として、
......[ス]
･･･⑦
∴ 
の場合のみです。
落下する時間
は、
∴ 
とすると、最上端と衝突直後との力学的エネルギー保存より、
∴ 
は速さ
で時間
進む距離として、
で、距離
は速さVで時間
進む距離として、⑤を用いて、
のとき、
であることから、
乗に依存し、高さの比が3倍なので、到達距離の比は
に近づく ......[答]
，衝突後の運動量は、小球
，小球
です。
，衝突後の運動エネルギーは、小球
，小球
です。
より、
として、
，中心と同じ高さ
，
，衝突地点からの高さは右図より
で位置エネルギーは
，衝突地点との
です。床に落下するまでの時間を
として、
で時間
，距離
だけ移動する間に、鉛直方向に、初速度
で
落下してはじめの位置に来ます。