京大物理'26年前期[1]

(1) 図1のように、床の上に質量Mの斜面状の台(斜面台と呼ぶ) を静止させ、斜面上の高さhの位置に質量mの物体Aを静かに置く。物体Aの大きさは無視できるものとする。物体Aは、斜面から床の上にすべり落ちたのち、水平運動に移行した。以下では、条件が異なる(a)，(b)，(c)の場合について、それぞれ考える。なお、物体Aの斜面から床への運動の変化はなめらかになされ、その際に全体の力学的エネルギーは保存されるものとする。また、速度については、右向きを正とし、符号にも注意せよ。

(a) 斜面台が床に固定されていて、物体Aと斜面との摩擦が無視できる場合を考える。物体Aにかかる合力の鉛直方向成分は、上向きを正とすると　ア　であり、物体Aが斜面に置かれてから床に到達するまでの時間は、　イ　である。

また、水平運動に移行したあとの物体Aの速さは、　ウ　になる。なお、斜面台の斜面から水平に移行する微小な部分の大きさは無視できるものとする。

(b)斜面台が床に固定されておらず, 物体Aと斜面に一定の動摩擦力がはたらく場合、静止した斜面台の上に物体Aを静かに置くと、物体Aは斜面をすべり落ちたのち、床の上で速度

の水平運動をおこなった。このとき、物体Aが離れたあとの斜面台の速度を

とすると、

　エ　×

である。なお、斜面台と床の摩擦は無視できるものとする。

(c) 斜面台が床に固定されておらず、物体Aと斜面との摩擦が無視できる場合、静止した斜面台の上に物体Aを静かに置くと、物体Aは斜面をすべり落ちたのち、床の上で速度　オ　の水平運動をおこなう。このとき、物体Aが離れたあとの、斜面台の水平運動の速度は　カ　になる。なお、斜面台と床の摩擦は無視できるものとする。

問1　図2のように、質量Mの同じ斜面台を逆向きにもう1つ配置する。2つの斜面台は、いずれも摩擦なく床を左右にすべり、物体Aと斜面との摩擦も無視できるものとする。2つの斜面台が静止した状態から、左側の斜面台の高さhの位置に、質量mの物体Aを静かに置くと、物体Aは右に移動し、右側の斜面台を登る。このとき物体Aは、右側の斜面台を最大でどの高さまで登るか。その高さ

を、導出過程も含めて答えよ。なお、物体Aは右側の斜面台と接する際に、なめらかに登り、力学的エネルギーは保存されるものとする。

(2) 次に、図3のような、水平な床の上での、帯電した物体Cの磁場中の運動を考える。物体Cの大きさは無視できるものとする。なお、図3の下の図は、真上から見た図である。鉛直上向きに一様な磁束密度B(

)の磁場の中で、質量m，電荷Qの物体Cは、上から見て時計回り、半径Rの円運動をしている。電荷Qは {キ:①正，②0，③負}であり、物体Cの速さをVとすると、物体Cが磁場から受ける力の大きさは　ク　であり、これが向心力の大きさ　ケ　に一致することから、VとRの関係は、V＝　コ　となる。

(3) 図4は、図1の斜面台と図3の水平面上の円運動を組み合わせ、真上から見た図である。(1)の(c)の状態のように、斜面台と床との摩擦も、物体Aと斜面との摩擦も無視できる場合を考える。物体A(質量m)を斜面上の高さhの位置に静かに置くと、物体Aは斜面台(質量M)からすべり落ちたのち、速さvの水平運動をおこない、斜面台は反対の向きに一定の速さの水平運動をおこなった。タイミングをうまく調整した結果、斜面台からすべり出た物体Aが、速さVで円運動中の物体C (質量m)と点Pで正面衝突した。なお、磁場は、鉛直上向きに、十分広範囲に一様にかかっているものとする。以下、条件が異なる(a)，(b)の場合について考える。

(a) 物体Aと物体Cが弾性衝突したのち、それぞれ、衝突直前と

反対の向きにはね返った場合を考える。衝突直後の物体Aの速さをw, 物体Cの速さを

とする。なお、斜面台および物体Aの電荷は常に0であり、衝突過程で物体Cの電荷は変化しないものとする。この衝突ののち、物体 A は、左に進む斜面台(速さu)に追いついて斜面を最大Hの高さまで登り、物体Cは半径　サ　(R，V，

で表すこと)の円運動をした。なお、物体Aは斜面台と接する際に、なめらかに登り、力学的エネルギーは保存され、また、物体Aは、斜面台を飛び越えないものとする。

(b) 物体Aと物体Cが衝突後合体し物体Fとなった場合を考える。物体Fの大きさは無視できるものとする。このとき衝突直後の物体 Fの速度は、右向きを正とすると　シ　となる。物体Fの運動エネルギーは、衝突直前の物体Aと物体Cの運動エネルギーの総和の　ス　倍となる。つまり、衝突前の運動エネルギーと比較して、{セ:①増加，②保存，③半分以上だが減少，④半分より減少}する。