京大物理'26年前期[2]

(1) 図1(a)のように、円形のターンテーブルを地面に水平に設置する。ターンテーブルの回転軸は中心の点Oを貫く鉛直方向にあり、回転させるときに摩擦力ははたらかないとする。また、ターンテーブルは絶縁体で作られており、その質量は無視できるものとする。ターンテーブル上の点Dと点Lに棒状の導体を鉛直上向きに固定した。図1(b)に示すように、点Dは点Oからdの距離に、点Lは点Oから

の距離にあり、線分 DL上に点Oがある。これらの導体は導線によって外部電源につながれており、電流を流すことができる。また、棒状の導体は変形せず、太さは無視できるものとする。

次に、図1(b)のように地面上に固定されたx軸とy軸をとり、x軸の正の向きに磁束密度Bの一様な磁場を加えた。図1(b)の

で示す方向から見ると図1(c)のような位置関係になっており、導体の長さはいずれもhである。ここで、点Dに固定した導体に、鉛直上向きに電流

を流すと, この導体には、y軸の正の向きに大きさ　イ　の力がはたらく。図1(b)のように線分DLがx軸に平行となるようにターンテーブルを静止させた状態から、電流

と同時に、点Lに固定した導体に電流

を流すと、ターンテーブルは回転せずに静止していた。このとき、点L上に固定した導体に流れる電流の向きは{口: ①，②}であり、

の大きさは　ハ　である。ここで、導線に流れる電流が作る磁場は無視でき、導線にはたらく力はターンテーブルの回転に寄与しないとする。

(2) 図2(a)，(b)のように、(1)の状態から磁場を除き、点D上の導体を、ターンテーブルの上下に十分に長い棒状の導体に変更し、ターンテーブルと共に回るように固定した。この導体の質量および太さは無視できる。また, 点L上の導体の代わりに一辺の長さが

である導体で作られた正方形の枠を、ターンテーブルに垂直になるように線分 OL上で固定した。図2 (c)のように、点L上の導体の質量はMであり、点O上の導体および上側と下側の導体の質量は無視できるものとする。また、正方形の導体の太さは無視でき、力を加えられたときにも正方形を保ち、倒れないものとする。正方形の導体には質量と大きさが無視できる電源により電流

が流れている。点Dに固定した導体に、図2(b)のように鉛直上向きに電流

を流すと、線分DL上にはy軸の正の向きに磁場が生じる。磁束密度の大きさは点O上で　ニ　であり、点L上で　ホ　である。ここで、電流

が作る磁場は無視してよい。

次に、電流

および

が流れている状態で、図2(a)で示すように正方形の導体を固定させたままターンテーブルを一定の角速度ωで回転させた。このとき点O上と点L上に生じる磁束密度は、ターンテーブル上の観測者から見てそれぞれ　ニ　と　ホ　と同じであるとする。回転させた状態で、正方形の導体の固定を静かにはずしたところ、正方形の導体は線分OL上から動かず、ターンテーブルとともに角速度ωで回転し続けた。ターンテーブルの表面はなめらかである。このとき、正方形の導体に流れる電流の向きは{へ:①，②}である。また、

の大きさは　ト　である。

(3) 図3のように、(2)の状態から点D上の導体を取り除き、y軸の正の向きに磁束密度Bの一様な磁場を作り、再び線分OL上の正方形の導体をターンテーブルに固定した。さらに、図3(a)のように、線分OLをx軸方向から微小な角度θ[rad](

)だけ反時計回りに回した位置でターンテーブルを静止させた。正方形の導体に電流

を流すと、ターンテーブルは上から見て時計回りに動き始めた。このとき、正方形の導体には{チ：①，②}の向きに電流が流れており、正方形の導体の4辺のうち、点L上の導体には、　リ　の大きさの力がはたらく。ここで、電流

は電源により時間変化しないように調整されている。

動き始めたターンテーブルは、ある角度だけ時計回りに動いたあと、反時計回りに動きだす。点Lのy座標を変位Yとして表し、この運動を考える。y座標の原点を点Oの位置にとり、図3(a)のようにx軸方向から微小角θだけ反時計回りに回した状態から動き始めた時刻を

とする。点L上の導体にはたらく力の線分OLに垂直な成分は、線分OLとx軸のなす角が微小であるとき、y軸に平行と近似できる。つまり、この成分は、変位がYのときy軸の方向を正として　ヌ　×Yと書ける。

から線分 OLがx軸と初めて平行になる時刻までの間にこの力が導体に対してなす仕事の大きさは　ル　×

となる。また、ターンテーブルが初めて反時計回りに動き始める時刻を

とすると、Tは　ヲ　と書ける。

問1 図4を解答欄に描き写し、変位Yと時刻t の関係を実線で描け。グラフには

から

までの変位Yを描くこと。また、最大と最小の変位Yの値とそれらの値を取る時刻および

となる時刻も示すこと。時刻はTを用いて表してよい。

(4) 図5のように、(3)の状態から電源が接続された部分を取り除き、電源がない導体に置き換えたのちに、ターンテーブルを一定の角速度ωで反時計回りに回転させた。図5(a)のように線分OLがx軸に平行な状態の時刻を

とし、任意の時刻t において正方形の導体に生じる電流を求める。点L上の導体が運動する速度のx軸成分の大きさは　ワ　×

である。この運動により正方形の導体には起電力が生じる。図5(b)で示す破線の矢印の向きに電流が流れるときを正の起電力とすると、時刻t における起電力を

と書くとき、

は　カ　となる。正方形の導体の全体での抵抗値をRとすると、時刻t において流れる電流は

となる。

次に、

からターンテーブルを一周させるまでの間に導体で発生するジュール熱を考える。時刻t における電力は、

，R，ωのうち必要なものを用いて、　ヨ　×

と書ける。ここで、

なので、ターンテーブルを一周させる間での電力の平均は　ヨ　×0.5となり、一周の間に導体で発生するジュール熱は、

，R，ωのうち必要なものを用いて　タ　と表される。
最後に、ターンテーブルを角速度ωで回転させた状態から、回転させるために必要であった外力を静かに取り除いた。すると、ターンテーブルの角速度は{レ:①増加した，②変化しなかった，③減少した}。

(1) x軸正の向きの磁束密度Bの磁場中で、点Dに固定した長さhの導体に、鉛直上向きに電流

(

)を流すと、この導体には、y軸の正の向きに、フレミング左手の法則より、大きさ

の力が働きます。　

......[イ]

点Lに固定した導体に図1(c)の①の向きを正として電流

を流すと、ターンテーブルに働く電磁力は、D点にかかるy軸正方向の

，L点にかかるy軸正方向の

です。ターンテーブルは回転せず静止していたので、ターンテーブルにかかる力のモーメントの和は0なので、

電流

は、点Lに磁束密度の大きさ

の磁場を作ります。　

......[ホ]
ターンテーブル上で見て考えます。正方形の導体に図2(b)の①の向きを正として電流

を流すと、フレミング左手の法則より、力の正の向きをx軸方向として、電流

が点O上の導体部分に及ぼす電磁力は、

(x軸負方向)，点L上の導体部分に及ぼす電磁力は、

(x軸正方向)です。上側の導体と下側の導体に及ぼす電磁力は等大逆向きでつり合います。また、質量Mの点L上の導体部分にはx軸正方向に遠心力

が働きます。正方形の導体は動かないので、力のつり合いよりこれらの力の合力は0です。

(3) 図3(a)の状況で、正方形の導体に、仮に図3(b)の②の向きに電流

が流れると、磁場が点L上の導体に及ぼす電磁力の向きはx軸負方向で、この電磁力の円軌道の接線に垂直な方向の成分は、点L上の導体を反時計回りに回転させる方向に働くので、ターンテーブルが時計回りに回転した、ということは、正方形の導体に流れる電流の向きは、① .......[チ]

フレミング左手の法則より、点L上の導体には、x軸正方向に大きさ

の力が働きます。　

......[リ]

のとき、線分OLとx軸のなす角はθなので、この力の円軌道接線方向の成分は反時計回りを正として、

であり、ターンテーブルは時計回りに動き始めます。
この後、点L上の導体の変位がYのとき、線分OLとx軸がなす角をφとすると(

)，Y，φの正負を含めて、

④は、ターンテーブルが単振動することを示します。ターンテーブルが初めて反時計回りに動き始める時刻を

とすると、時間Tは、単振動の半周期です。ターンテーブルの質量は無視できるので、点L上の導体の運動方程式は加速度を

として、

問1 時間Tは単振動の半周期なので、

から

までで単振動の1周期分です。⑤より、

において振動端にあり、

，

において逆の振動端にあり

，

となるのは

のときです。変位Yと時刻t の関係は右図実線。

正方形の導体を磁束が貫く面積は

，正方形の導体を貫く磁束は

，正方形の導体に生じる起電力は(電磁誘導の法則を参照)、

から

周期の間に、正方形の導体を貫く磁束は減少するので、レンツの法則より、図5(b)で紙面手前から向こう向きの磁束を増加させる向き、即ち、右ねじの法則より図5破線矢印と逆向きの起電力を生じるので、この間の起電力は負で、時刻t における起電力は、

より、

......[カ]
時刻t における電流は、

時刻t における電力は、

......[ヨ]
問題文の関係式を用いて、

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