東工大物理'24年前期[1]
図1のような、一辺の長さがの立方体である4つのブロックA，，，のうちいくつかと、質量の無視できる伸び縮みしない糸を用いて実験を行う。Aとは質量の無視できる立方体の一辺の中点に質量mの小球が取り付けられたものである。Aはすべての面で滑らかであるのに対して、は小球に接する2つの面の片方が滑らかではない。とはいずれも質量の均質な立方体である。重力加速度の大きさをとする。必要であれば以下の公式を用いてよい。


[A]　図2のように、水平な床の上にとを間隔をあけて置き、互いにたるみなく糸で水平につないだ。との上に、小球を下にしたAを左右対称になるように静かに置いた。図2において3つのブロックの正面は同一の鉛直面内にある。また、糸は3つのブロックの中心を含む面内にある。ブロックどうし及びブロックと床の間に摩擦ははたらかない。とはいずれも傾くことがないとして、以下の問いに答えよ。

(a) 糸の張力の大きさTを求めよ。

糸を静かに切ると、との間隔が広がっていくとともに、Aが向きを保ったまま下がっていき、との間隔がを超えたところでAはとから離れて落下した。運動中、切断された糸はブロックの運動を妨げないものとする。

(b) 糸を切ったときから、Aがとから離れるまでの間のAの移動距離を求めよ。

(c) Aが床に接触する直前のAの速さとの速さを、，，m，を用いて表せ。

[B]　図3のように、水平な床の上にとを間隔をあけて置き、互いにたるみなく糸で水平につないだ。との上に、小球を下にして滑らかでない面がの辺に接するようにを傾けて静かに置いた。図3において3つのブロックの正面は同一の鉛直面内にある。また、糸は3つのブロックの中心を含む鉛直面内にある。この鉛直面によるの断面において、初めにが置かれたときに小球を含む対角線と鉛直線のなす角をとする。の場合のみを考える。図3のように小球がよりもに近いとき、は正とする。がある範囲内にあるとき、は静止し続け、である場合にはは滑って向きを変化させた。との間の静止摩擦係数はμであり、床，床と，との間には摩擦ははたらかない。とはいずれも傾くことがないとして、以下の問いに答えよ。

(d) のとき、がに及ぼす垂直抗力の大きさを，m，を用いて表せ。

(e) のとき、がに及ぼす垂直抗力の大きさを，を用いて表せ。
(f) のとき、がに及ぼす摩擦力の大きさFを，m，を用いて表せ。

(g) μをを用いて表せ。

[C]　図4のように、水平な床の上にとを間隔をあけて置き、互いにたるみなく糸で水平につないだ。加えて、と壁を糸でたるみなく水平につなぎ、は滑らかな滑車を通して質量Mのおもりと糸でつないだ。滑車との間の糸は水平である。小球を下にしたAをとの上に傾けて置き、静かに放す。Mが十分大きく、とがいずれも静止したままである場合には、小球は床からの高さの点Pを中心として単振り子と同じ運動をする。図4において3つのブロックの正面は同一の鉛直面内にある。また、点P及びすべての糸は3つのブロックの中心を含む鉛直面内にある。この鉛直面によるAの断面において、小球を含む対角線と鉛直線のなす角をθとする。図4のように小球がよりもに近いとき、θは正とする。点Pと小球を通る直線と鉛直線のなす角はである。ブロックどうし及びブロックと床の間に摩擦ははたらかない。とはいずれも傾くことはないものとする。初めにAが置かれたときのθをとし、の場合のみを考える。以下の問いに答えよ。

まず、Mが十分大きく、Aの運動中、とがいずれも静止したままである場合を考える。

(h) 単振り子と同じ運動をする小球の速さvを、，，θ，を用いて表せ。また、がAに及ぼす力とがAに及ぼす力の合力の大きさGを、，m，θ，を用いて表せ。

(i) とをつなぐ糸の張力の大きさ，およびと壁をつなぐ糸の張力の大きさを、G，，M，θを用いて表せ。

次に、いろいろな質量Mのおもりを用いて実験すると、Mがある値よりも大きい場合には運動開始時の角をの範囲でどのように選んでもとは動かないが、よりも小さい場合にはの値によってはAの運動中との両方またはいずれかが動いた。

(j) をmを用いて表せ。



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解答　目新しい状況の問題ですが、[C]の問題文は、舌足らずな上に誤解を招く「単振り子」という記述のために無理な気がします。もっと状況を丁寧に説明しないと、たまたま理由もなく合力Gを方向とした受験生だけが正解できた以外に正解者はいないのではないかと思います。また、[B]，[C]は、解答にを残してよいのか、ということについても、指示がないと受験生の混乱を招くような気がします。

[A](a) A との間の垂直抗力をとします。垂直抗力と水平方向のなす角はです。Aに鉛直方向に働く力のつり合いより、
　∴ 　･･･①
に水平方向に働く力のつり合いより、
①より、
......[答]

(b) 右図より、糸を切ったときから、Aがとから離れるまでの間のAの移動距離は、鉛直下向きに、
......[答]　･･･②

(c) Aとが接触を保っている間、右図のようにAが降下すると、は水平方向に動きます。つまり、この間のAの速さと，の速さは一致します。糸を切ったときから、Aがとから離れるまでの間にAの小球の位置エネルギーの減少分はです。糸を切ったときと、Aがとから離れるとき(このときのAと，の速さをとします)との力学的エネルギー保存より、
②より、
∴ 　･･･③
Aがとから離れてからAが床に接触するまでにAが降下する距離はです。Aがとから離れるときと、Aが床に接触する直前との力学的エネルギー保存より、
③より、


∴ ......[答]
Aがとから離れて以降Bに水平方向に働く力はなく、は等速度運動をします。よって、③より、
......[答]

[B]　のとき、との間は滑らず、には、滑らかでない面に沿って上向きに静止摩擦力Fが働きます。
がに及ぼす垂直抗力(滑らかでない面に垂直にからに向う向き)の大きさをとすると、作用反作用の法則より、同じ大きさで逆向き(滑らかでない面に垂直にからに向う向き)の垂直抗力がからに働きます。
がに及ぼす垂直抗力(接触面に垂直にからに向う向き)の大きさをとすると、作用反作用の法則より、同じ大きさで逆向き(接触面に垂直にからに向う向き)の垂直抗力がからに働きます。
(d) 右図より、滑らかでない面に垂直な方向にが受ける力は、垂直抗力(左上向き)と小球に働く重力のこの方向の成分(右下向き)です。これらの力のつり合いより、

∴ ......[答]　･･･④

(e) 小球の位置を中心とする力のモーメントを考えます。右図より、が受ける垂直抗力のうでの長さはで、時計回りのモーメントです。
が受ける垂直抗力のうでの長さはで、反時計回りのモーメントです。
力のモーメントのつり合いより、
∴ ......[答]　･･･⑤

(f) の滑らかでない面との間には摩擦力が働きます。で小球が中心を通る鉛直面より右にあるときは、摩擦力は右上向き、で小球が中心を通る鉛直面より左にあるときは、摩擦力は左下向きです。滑らかでない面に沿う方向にが受ける力は、静止摩擦力F (のとき右上向きとします)，垂直抗力(右上向き)，小球に働く重力のこの方向の成分(左下向き)です。これらの力のつり合いより、
④，⑤より、




　(2倍角の公式を参照)
においては，であり、問題文では、Fを摩擦力の大きさとしているので、 ......[答]

(g) との間が滑り出すとき、つまり、となり、静止摩擦力Fが最大静止摩擦力に等しくなるとき、④より、


∴ 　(2倍角の公式を参照)
......[答]

[C]　図4を見ると、点Pを中心として単振り子と同じ運動をする小球の振り子の長さはです(問題文に「単振り子」と書かれていますが、θ微小という記述もないので単振り子ではなく、ここは不等速円運動と考えるべきです)。小球の位置をQとして、PQが鉛直線となす角は、問題文、図4によるとです。初めにAが置かれたとき()には、PQと鉛直線とのなす角はで、右図より、両位置での高さの差はです。

(h) のときには、運動エネルギーは0だったので、力学的エネルギー保存より、
∴ ......[答]　･･･⑥
小球に働く重力のPQ方向成分は(向きは下向き)です。がAに及ぼす垂直抗力，がAに及ぼす垂直抗力の合力(問題文には何も書かれていませんが、方向を向くとして考えます)の大きさをGとして、小球の方向の運動方程式は、

　(∵ ⑥)
......[答]　･･･⑦
垂直抗力はAの左下面に垂直で右下面に平行です。と右下面のなす角は、右図よりです。よって、
　･･･⑧
垂直抗力はAの右下面に垂直で左下面に平行です。と左下面のなす角は、右図よりです。よって、
　･･･⑨

(i) ，は静止しているので、力のつり合いが成立しています。
に水平方向に働く力は、左側の糸の張力，右側の糸の張力，Aがに及ぼす垂直抗力の水平成分(左向き)です。これらの力のつり合いより、
⑧より、

......[答]　･･･⑩

に水平方向に働く力は、左側の糸の張力，右側の糸の張力，Aがに及ぼす垂直抗力の水平成分(右向き)です。これらの力のつり合いより、
⑨，⑩より、



......[答]　･･･⑪

(i) ，に関する力のつり合いが崩れると、⑩，⑪が成立しなくなります。
⑦によると、の範囲において、，なので、
です。Gが大きくなりになると、となりつり合いが崩れる可能性が出てきますが、このとき、
ですが、であってもであるためにが必要で、であれば、
であり、力のつり合い⑪は維持されます。このとき、⑩においてであって、力のつり合い⑩も維持されます。よって、 ......[答]



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