東工大物理'24年前期[2]
図1のように、長さrの導線ab，cdと長さ
の導線bcを直角につないで作ったコの字形の導線Xを、水平に固定された直線状の導線Yにつり下げて作った長方形の回路abcdを考える。Yの区間adの一部は電池、抵抗器、コイル、スイッチで作った装置Zで置き換えることができ、Yの両端は絶縁されている。XはYを軸に滑らかに回転できるが、平行移動や変形をしないものとする。なお、YとZは動かない。ab，cdの質量は無視でき、bcの質量はmであり、重力加速度の大きさを
とする。また、磁束密度の大きさがBである鉛直上向きの磁場が一様に存在している。導線の太さと電気抵抗、コイル以外の自己インダクタンス、電池の内部抵抗、空気抵抗はすべて無視できるものとする。
回路を流れる電流の正の向きをa→b→c→dと定める。また、aを通る鉛直方向の直線とabがなす角をθとし、aからbに向う向きが鉛直下向きのときに
であり、a→b→c→dの向きに回る右ねじが進む向きをθの正の向きと定める。さらに、Xの角速度をωとし、微小な時間
の間にθが
だけ変化するとき、
である。
[A] 図2のように、電圧Vの電池、抵抗値Rの抵抗器、スイッチSを使ってZを作り、adの一部を置き換える。スイッチをp側に入れると抵抗器のみを通して、q側に入れると抵抗器と電池を通して回路が閉じる。電池は正の向きに電流を流そうとする向きに設置されている。以下の問いに答えよ。
(a) まず、スイッチをp側に入れ、Xが水平になるように
の位置までbcをゆっくり持ち上げた。回路に電流が流れていないことを確認してからbcを静かに放したところ、XはYを軸に運動した。ある時刻において回路を流れる電流Iを、r，
，B，R，θ，ωのうち必要な記号を用いて表せ。
(b) 問(a)において、ab，bc，cdが磁場から受ける力の大きさ
，
，
を、それぞれr，
，B，
，
のうち必要な記号を用いて表せ。
(c) 十分に長い時間が経つと、
の位置でXは静止した。bcを放してから
の位置でXが静止するまでの間に抵抗で発生したジュール熱Qを、r，
，m，
，B，Rのうち必要な記号を用いて表せ。
(d) 
の位置でXが静止した状態でスイッチをq側に入れたところ、XはYを軸に運動をし、十分に長い時間が経つと
の位置でXは静止した。このとき
を、r，
，m，
，B，V，Rのうち必要な記号を用いて表せ。
[B] 図3のように、自己インダクタンスLのコイルとスイッチSを使ってZを作り、adの一部を置き換える。スイッチを入れるとコイルを通して回路が閉じる。スイッチを切った状態でXが水平になるように
の位置までbcをゆっくり持ち上げた。その後、スイッチを入れてからbcを静かに放したところ、XはYを軸に
と
の間を往復する周期的な運動をした。以下の問いに答えよ。
(e) 
となる瞬間に回路を流れる電流
の大きさをエネルギー保存則から求め、r，
，m，
，L，
のうち必要な記号を用いて表せ。
(f) 以下の文章中の空欄(ア)～(エ)にあてはまる数式または数値を答えよ。ただし、(ア)は、r，
，B，L，θ，
，(イ)～(エ)はr，
，B，Lのうち必要な記号を用いて表せ。
ある時刻から微小な時間
の間にθが
だけ変化するとき、電流Iの変化
は
と求まる。θが
だけ変化するときの
の変化は
であることを用いると、Iの変化と
の変化は等しいことがわかる。よって、両者の差である
は時刻によらない定数となる。特に
のとき
であることから、
と定まるので、任意の時刻において
が成り立つ。
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解答 電磁ブランコの問題で、前半は標準的な内容ですが、コイルを含めた回路を考える後半は難解です。本問では、「微小な時間
の間にθが
だけ変化するとき、
である」という問題文に注意が必要で、
と思い込むと符号をミスします。出題者は意図的に不親切な問題文にして、受験生の実力を見ようとしています。
[A](a) aを通る鉛直方向の直線とabがなす角がθのとき、aを通る水平面にbから垂線bhを下すと、
です。回路abcdを磁束が通過する有効面積Sは、
です。回路を貫く磁束Φは、 電磁誘導の法則より、起電力Vは、
より
(bcが、
から
まで動く間は
，
から
まで動く間は
です)として、 注．問題文に合わせて書けば、
･･･①です。
bcが、
から
まで動く間は回路abcdを貫く磁束は減少するので、磁場を増大させる向き、つまり右ねじの法則より
の向きに電流を流そうとする向きの起電力です。
に注意して、このときの電流Iは、オームの法則より、 
(
)
(
)いずれにしても、
......[答]
(b) ab，cdが磁場となす角は、θ，bcと磁場は垂直、ab，bc，cdが磁場から受ける力の大きさ
，
，
は、θが正負いずれもとることに注意して(フレミング左手の法則を参照)、 
......[答]
......[答]
(c) 抵抗で消費したジュール熱は、
の位置で放たれてから
の位置で静止するまでの間にbcが失った位置エネルギーに等しく、
......[答]
(d) 
の位置でスイッチをq側に入れると、回路の正方向に電流
が流れ、フレミング左手の法則よりbcは、Yを含む鉛直面から右側へ離れる向きに、大きさ
の力を受けます。bcが
の部分に移動しても、この力は変わりません。Xが静止したとき、この力とbcに働く重力
との合力が、ab，cdに働く張力とつりあう(力のつり合いを参照)ので、合力の向きとab，cdの向きは重なります。よって、このとき、ab，cdがYを含む鉛直面と角
をなすとして、 
......[答]
[B](e) 
，
においてbcの運動エネルギーは0です。
におけるbcの位置を位置エネルギーの基準とすると、
における位置エネルギーは、
の範囲で
です、
のときに電流が流れていないので、このときのコイルのエネルギーは0です。エネルギー保存より 
∴ 
......[答] ･･･②
(f) ①と同様に、bcが
から放たれると、bcには電磁誘導による起電力、 ∴ 
......[ア]問題文より、
であり、B，r，
，Lは変化しないので、[ア]を、
と見ると、Iの変化と、
の変化は等しくなります。 
......[イ]即ち、 よって、
は時刻によらない定数で、
のとき
......[ウ]より、
......[エ]と定まり、 ∴ 
･･･③
(g) ②式で
とすると、
③式で
のときの電流は、
のとき
として、
∴ 
......[答]
のとき
となるので、横軸を通過しないグラフ①，②は捨てられます。また、
となるBは、
の1つしかないので、横軸と2回交わるグラフ⑦，⑧も捨てられます。
③式で
のとき
です。これと②式より、 
に関係するのものを左辺、残りを右辺に移項すると、
･･･④グラフ③～⑥での違いは、
のときの
と
のときの
です。
④式の左辺は、
のとき左辺
の不定形になってしまうので、変形して、 ここで、
とすると、
とすると、
④の右辺は、
のとき、
のとき、
これより、
のとき
，
のとき
となることがわかります。こうなっているグラフは④ ......[答] 注．グラフ④は、磁場が小さいときは、Xが最下点
を通過して
の部分まで行き、磁場が大きくなると、Xは最下点
まで行かない、ということを示しています。
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(g) 
となるような磁束密度の大きさ
を、r，
，m，
，Lのうち必要な記号を用いて表せ。ただし、解が複数ある場合にはすべての解を列挙し、解がない場合には「
＝解なし」と解答せよ。
をBの関数として表したグラフの概形として最も適切なものを図4の選択肢①～⑧から選び、番号で答えよ。
から
まで動く間は
，
で、
