東大物理'02年前期[2]
図2-1に示すように、環状の鉄心に巻き数
のコイル1と巻き数
のコイル2が巻かれている。これらのコイルの電気抵抗は無視できるほど小さく、コイル1は抵抗
と任意の電圧Eを発生できる電源に接続され、一方コイル2は抵抗
とスイッチSに接続されている。これらのコイルに電流を流したとき、磁束は鉄心内にのみ発生し、鉄心外への漏れは無視できるものとする。そのとき鉄心内の磁束Φと、コイル1の電流
およびコイル2の電流
との間には、以下の式(ア)が成り立つものとする。
式(ア)
および
の向きは図中の矢印の向きを正とし、係数kは鉄心の形状や透磁率によって決まる定数とする。
また、微小時間
の間にこの鉄心内の磁束が
だけ増加したとき、
と
およびコイル1の電圧
との間には以下の式(イ)が成り立つ。
式(イ)
，コイル2の電圧
は、それぞれa点、b点、c点を基準としたときの
間、
間、
間の電位差と定義する。
時刻
では、いずれのコイルにも電流は流れていないものとして、以下の問Ⅰ，Ⅱに答えよ。
Ⅰ スイッチSが開いている状態のとき、コイルⅠの電圧
が図2-2に示す電圧波形
(
は
のとき一定値
をとり、その他の時刻では0をとる)となるように、電源の電圧Eを変化させた。 (1) 時刻t が
のとき、コイル1の電流
は正負どちらの向きに増加するか。また、その理由を簡単に述べよ。 (2) 時刻
における鉄心内の磁束Φを求めよ。 (3) 式(ア)を用いて、時刻
におけるコイル1の電流
を求めよ。 (4) 以下のそれぞれの場合について電源の電圧Eを求めよ。
(a) 時刻t が
の場合 (b) 時刻t が
の場合
Ⅱ 次にスイッチSが閉じられている場合を考える。問Ⅰと同様に、コイル1の電圧
が図2-2に示す電圧波形となるように、電源の電圧Eを変化させた。 (1) 時刻
における鉄心内の磁束Φを求めよ。 (2) 時刻t が
のとき、両コイルの両端に発生する電圧の大きさの比、
を求めよ。またc点と
点とでは、どちらの電位が高くなるかを答えよ。 (3) 時刻t が
のとき、コイル1の電流
を求めよ。
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解答 式(イ)では、コイルの電圧と起電力の違いに注意してください(自己誘導を参照)。電流、磁束の正負が指定されているので、コイルの巻き方にも注意してください(電磁誘導の法則、電流の作る磁界を参照)。
Ⅰ(1) 正の向きに増加する ......[答]
[理由] コイルの電圧が
ということは、電流
の負方向に電流を流す向きの起電力がコイル1に発生している、ということです。レンツの法則より、磁界の変化を妨げる向きに起電力が発生するので、電流
は正の向きに増加していることになります。[別解] 
のとき、コイル1には上向きの磁界が発生し、
のとき、コイル2には下向きの磁界が発生し、ともに
なので、
です。式(イ)において
より、
ですが、式(ア)において、
より、
，従って、電流
は正の向きに増加します。
(2) 式(イ)において、
が一定なので、
として、 
においては電流が流れていないので、式(ア)より、
における磁束は、
......[答] ･･･①
(3) 式(ア)において、
，①より、 ∴ 
......[答] ･･･②
(4)(a) 
では②において、
として、 注．こうできるのは、
において、
が一定で、Φがt の1次関数，
なので、式(ア)より、
もt の1次関数になるからです。
コイル1側の回路においてキルヒホッフ第2法則より、
(コイル1の電圧は
がbよりも高いときに正で、このとき、電流
の正方向にループを回って、コイル1の電圧
は電圧降下です)∴ 
......[答]
(b) 
において、
，
より磁束は
のまま変化しません。 式(ア)を用いて、
Ⅱ(1) コイルの巻き数、時間間隔に変化がなければ、式(イ)より、電圧
に影響するものは磁束の変化
だけです。従って、スイッチSを閉じても、電圧
がⅠと同じなら、
もⅠと同じです。 ∴ 
......[答] ･･･③
(2) コイル2についても、コイル1と同様に、
･･･④が成り立ちます。(
のとき、磁界の変化を妨げる向きにコイル2には
となる方向に起電力が発生します。このとき
です)式(ア)を④で辺々割ると、 
.......[答] ･･･⑤
においては、
，
なので、
点の方がc点よりも電位が高くなります。
......[答]
(3) (2)で触れたように、
のとき、
，
です。また、 
より、
･･･⑥Ⅰと同様に、③において
として、
において、
･･･⑦
⑥，⑦と式(ア)により、 ∴ 
∴ 
......[答]
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