東大物理'18年前期[3]
図3のように、鉛直方向に立てられた3つの円柱状の容器A，容器B，容器Cが管でつながれている。3つの円柱の断面積は等しく、全てSである。容器内には密度が一様な液体が入っており、液体は管を通して3つの容器の間を自由に移動できる。容器Aと容器Bの上端は閉じられ、容器Cの上端は開いている。容器Aの液面より上は何もない空間(真空)であり、容器Bの液面より上には単原子分子の理想気体が入っている。以下の設問に答えよ。ただし、気体と液体および気体と容器の間の熱の移動はないものとする。また、各容器の液面は水平かつ常に管より上にあり、液体の蒸発や体積の変化は無視できるものとし、容器Bの気体のモル数は常に一定であるとする。
Ⅰ 最初、図3のように容器A，容器Bの液面が容器Cの液面に比べてそれぞれ
，
だけ高く、また容器Aの真空部分の長さがh，容器Bの気体部分の長さが
であった。このとき容器Bの気体の圧力
を、外気圧
を用いて表せ。
Ⅱ 図3の状態から、外気圧を
に保ったまま、容器Bの気体にわずかな熱量をゆっくりと与えたところ、容器Bの液面がxだけわずかに下がった。 (1) 容器A，容器Cの液面はそれぞれどちら向きにどれだけ移動するかを答えよ。
(2) 容器Bの気体の体積、圧力、温度が
から
に変化したとする。体積と圧力の変化率
，
を、xとhを用いて表せ。 (3) 容器Bの気体がした仕事をWを求めよ。ただし、xはhに比べて十分小さく、容器Bの気体の圧力は
で一定であるとして、
に比例する項は無視してよい。 (4) 液体の位置エネルギーの変化を
とする。
は、容器Bの液面付近にある厚さx，断面積Sの液体が、容器A，容器Cの液面付近に移動したと考えることによって求められる。
を
，
，x，h，Sのうち必要なものを用いて表せ。ただし、設問Ⅱ(3)と同様に、
に比例する項は無視してよい。 (5) Wと
が等しいか等しくないかを答え、等しくない場合はその原因を簡潔に述べよ。
Ⅲ 図3の状態から、外気圧を
に保ったまま容器Bの気体に熱量をゆっくりと与えていったところ、ある時点で容器Aの液面がちょうど上端に達し、真空部分がなくなった。 (1) この時点での容器Bの気体の体積、圧力、温度
は、熱量を与える前の値
のそれぞれ何倍になっているかを答えよ。 (2) この時点までに容器Bの気体に与えられた熱量Qと温度変化
の比
を、容器Bの気体のモル数nと気体定数Rを用いて表せ。
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解答 目新しい設定の問題ですが、Ⅱの検討結果をⅢで使うようになっています。本問は浮力の問題ではありませんが、同じ高さの位置で圧力が等しくなるという基礎事項、圧力や密度については、浮力を参照してください。
Ⅰ 液体の密度をρとします。容器Cの液面の高さでの圧力を比較します。
容器Aでは、容器Cの液面よりも高い部分の液体の高さは
，この部分に働く重力は
，容器Aの、容器Cの液面の高さでの圧力は
です。
容器Bの液面よりも高い部分の液体の高さは
，この部分に働く重力は
，気体の圧力
が加わり、容器Bの、容器Cの液面での高さの圧力は
，容器Cの上端は開いていて容器Cの液面での高さでの圧力は
です。これらが等しいので、
Ⅱ(1) 容器Bの液面の高さがxだけ下がった結果、容器Aの液面の高さが
上昇し、容器Cの液面の高さがc上昇したとします。容器の断面積は等しいので、 
･･･③です。元の容器Cの液面の高さを基準として、変化後の容器Aの液面の高さは
，変化後の容器Cの液面の高さはcになります。変化後、容器Aの液面は、容器Cの液面よりも、
だけ高くなります。容器Cの液面の高さでの圧力が等しいので、①より、 
∴ 
③より、
です。つまり、容器A，容器Cとも液面は
上昇します ......[答]
(2) 容器Bの気体のはじめの体積は
，容器Bの気体の変化分は
，よって、
......[答] 元の容器Cの液面の高さを基準として、容器Bの液面の高さは、
になり、容器Cの液面の高さは
になっているので、変化後、容器Bの液面は、容器Cの液面よりも、
だけ高い位置にあります。この部分に働く重力は
であり、変化後の容器Cの液面の高さでの圧力を容器Bと容器Cで比較して、 ①，②より、
(3) 容器Bの気体の圧力を
で一定として考えるので、
より容器Bの気体がした仕事Wは、 
......[答]
(4) 右図で黄緑色の部分(厚さ
)の液体が
上昇し、橙色の部分(厚さ
)の液体が
下降したと考えると、液体の位置エネルギーの変化
は、
(5) (3)，(4)の結果より、
となるのですが、容器Cの上端は開いていて、容器Cにおいて、液面が
上昇することにより、外気に対して仕事をします。外気圧は
なので、この仕事は
です。 Wと
は等しくない。原因：容器Cの上端が開いていて容器Cの液面は外気と接しており、外気に対してする仕事
の分だけWが大きくなる。 ......[答]
Ⅲ 容器Aの液面がちょうど上端に達した、ということは、Ⅱにおいて
，つまり
だった、ということです。 (1) Ⅱ(2)で
と考え、
とすると、 
∴ 
･･･④よって、
は
の
倍 ......[答]Ⅱ(2)で
と考え、
とすると、 
∴ 
･･･⑤よって、
は
の2倍 .......[答]容器Bの気体のモル数をn，気体定数をRとして、容器Bの状態方程式は、 熱量を与える前が、
･･･⑥
熱量を与えた後が、
･･･⑦ ⑦÷⑥より、④，⑤を用いて、
よって、
は
の3倍 ......[答]
(2) 熱力学第1法則より
ですが、仕事W，内部エネルギーの変化
を、(1)の
を踏まえて以下では、
で表す(従って
，
で表す)ことを考えます。 ここでは、容器Bの気体の圧力は変化しており、容器Bの気体の圧力が
一定であるとして求めたⅡ(3)は使えません。
Ⅱ(5)の検討により、容器Bの気体がする仕事Wは、液体の位置エネルギーの変化と外気に対してする仕事の和です。
液体の位置エネルギーの変化
は、Ⅱ(4)の近似前の式で
とすると、 外気に対してする仕事は、容器Cの液面が
だけ上昇するので、Ⅱ(5)より
です。②より
，また
より、容器Bの気体がした仕事Wは、 
(∵ ⑥)また、容器Bの気体は単原子分子理想気体なので、内部エネルギーの変化
は、(1)の結果
を用いて
より、 です。よって、
......[答]
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∴ 
･･･①
......[答] ･･･②
∴ 
......[答]
(∵ ①)
......[答] (
を無視した)
