金沢大理系数学'09年後期[5]
m，nを自然数とするとき、次の問いに答えよ。
(1) 関数
は
において単調に減少することを示せ。 (2) 
のとき、
が成り立つことを示せ。 (3) 
を満たすnをすべて求めよ。 (4) kを2以上の自然数とする。
かつ
を満たす自然数の組
の個数
を求めよ。
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解答 「
を満たす異なる自然数の組
を求めよ」という頻出問題であれば、
⇔ 
が
において単調増加、
において単調減少であることから、
となります。本問題は、これをもじった問題ですが、(4)は細かい場合分けが必要でなかなか面倒です。
(1) 
(2) 
と(1)より、
(1)より、
において
は単調減少ですが、
において
は単調増加です。
従って、
(
しかありませんが)であれば、
また、
より、
であれば、
より、
以上より、①を満たすnは、
......[答]
(4) まず、
かつ
であれば、(2)より、 
･･･③となりますが、②を考慮して、
とすると、
(このときに、②を満たすmは存在しません)そこで、
の場合と、
の場合を別に考えることにします。
また、
のとき、
を満たす自然数nは存在しません。従って、
のみ考えれば十分です。 ･･･④
のとき、
とすると、
は必ず成立します。 ･･･⑤
また、
のとき、(3)より、
以外に、
であれば、
が成立します。よって、
，つまり、
のときには、②より、 
･･･⑥であれば、
が成立します。 (i) 
のとき、
を満たす自然数の組
は、
のみなので、④より、
(iii) 
のとき、
ですが、
では、
は成立せず、④，⑤より、
(v) 
のとき、②を満たすmが存在しないことに注意して、
の場合のみ、
が成立し、
(vi) 
のとき、③が成立するので、⑥を満たす場合、及び、⑤より
となる場合に、
が成立します。また、⑥に出てくる
が整数になるかどうか、つまり、kが偶数か奇数かで場合分けします。 (a) kが奇数のとき、⑥ ⇔ 
を満たすmは、
個あります。 
の場合と合わせて、
･･･⑦(b) kが偶数のとき、⑥ ⇔ 
を満たすmは、
個あります。 
の場合と合わせて、
･･･⑧(ii)，(iv)の
の場合も⑦が成立し、(i)，(iii)の
の場合も⑧が成立するので、以上より、kが奇数のとき
，kが6以外の偶数のとき
，
のとき
......[答]
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⇔ 
⇔ 
･･･①
⇔ 
⇔ 
より
･･･②
より、
のとき、
ですが、④，⑤より、
のとき、
であれば、
が成立し、
より、
は
において
