阪大理系数学'25年前期[4]
次の問いに答えよ。
(1) 
のとき が成り立つことを示せ。
(2) 
を示せ。 (3) 
とおく。 を示せ。
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解答 (3)は、
ということです。
(2) (1)にならって、
を考えても
となるので、うまく行きません。そこで(1)を利用することを考えます。 (1)より、
･･･②
，
･･･③
については、
とおくと、
，x：
のとき、u：
より(置換積分を参照)、これを③に代入すると、
カッコ内の2つの積分は、被積分関数は共通で、1つめの積分の積分範囲が
，2つめの積分の積分範囲が
で、
であれば
であり、積分範囲のうち
の部分が重なり、2つの積分を引くと積分範囲が重なっている部分が打ち消し合います。よって、
のとき、積分範囲が重ならない部分が残って、 ここで、
とすると、(2)より
です。よって、
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のとき
より、
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より、
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より、
のとき、
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より、
