阪大理系数学'26年前期[4]
実数xに対して
とする。ただし、eは自然対数の底である。
(1) 
のとき、不等式
が成り立つことを示せ。 (2) 
をみたす実数aに対して とするとき、
を求めよ。
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解答 積分計算とはさみうちの極限の問題です。
(1) 
のとき
です(指数関数を参照)。
のとき
です。 よって、
です。 ･･･①
を微分すると、
，
また、
ですが、曲線
の
における接線lは、 l：
(
)よって、
のグラフは
において下に凸(関数の凹凸を参照)であり、
における接線lから上にあります。よって
において、
･･･② (微分法の不等式への応用を参照)①，②より、
のとき、
となるので、
ここで、
･･･④
･･･⑤④右辺第2項の積分は、
とおくと(置換積分を参照)、
より、
，x：
のとき、θ：
より、 
･･･⑥⑤，⑥を④に代入すると、
･･･⑦また、
は、 より、⑤，⑥を用いて、
･･･⑧⑦，⑧より③は、
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のとき、
において、
と(1)より、
とすると、
，