慶大理工数学'10年[A4]
正の整数n，kに対して、xの3次関数
を考える。3次方程式
が相異なる3つの実数解をもつような正の整数の組
を見つけたい。
の導関数を
とする。
が相異なる3つの実数解をもつならば、
の相異なる実数解の個数は
個でなければならない。これより、nとkの満たす不等式
･･･①
次に
とおくと、
も相異なる3つの実数解をもたなければならない。これより、①を得たのと同様にして、nとkの満たす不等式
･･･②
正の整数nを与えるとき、連立不等式①，②を満たす正の整数kをすべて求めると
の3つである。
に対して、方程式
を考えると、これはnに無関係に定まる解
とnを用いて表される2つの解
の3つの実数解をもつ。
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解答 枠の形がヒントになっています。誘導にうまく乗って解答を進めましょう。
(ツ) 
が相異なる3つの実数解をもつならば、
の相異なる実数解の個数は2個でなければなりません(微分法の方程式への応用を参照)。2 ......[答]
･･･①
......[答](ト) 
①を得たのと同様にして、2次方程式
の判別式
について、 
･･･②2 ......[答]
(ナ) ①について、
より、 ∴ 
･･･③
②について、
より、 ∴ 
･･･④
①と
より、 
･･･⑤②と
より、 
･･･⑥⑤，⑥より、
この不等式を満たす整数kは、③，④を考慮すると、
即ち、
......[答](ニ) 
のとき、 
･･･⑦「nに無関係に定まる解」という問題文の記述から、xに1，
，･･･と順に代入して行きます。 
･･･⑧(ヌ) ⑧より
は
を因数にもつ(因数定理を参照)ので、⑦の
を
で割って、 (ネ) 
......[答]
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は解
をもちます。
......[答]
以外の解は、
について、