慶大理工数学'22年[1]
(1) 
とする。空間のベクトル
，
はともに大きさが1であり、
，
，
とする。
(i) p，q，rを実数とし、
とするとき、内積
と
の大きさ
をp，q，rを用いて表すと、
，
である。
(ii) 
を満たす実数s，θが存在するような実数zは2個あるが、それらをすべて求めると
である。
(2) n を奇数とする。nと
の積が6の倍数であるための必要十分条件は、nを
で割ったときの余りが
となることである。ただし、実数xに対しxを超えない最大の整数を
と表す。また、
，
は
を満たす整数である。
，
を求める過程を解答欄(2)に記述しなさい。
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解答 計算が大変にならないように工夫されていて一本道です。あっさり仕上げてしまいましょう。空所補充問題なので、勿論、(2)では十分性の確認は不要です。
(i) 
......[ア] ∴ 
......[イ]
(2) mを整数として、
とおくと、 
が6の倍数(整数を参照)なので、kを整数として、これより、
，整数jを
とおくと、 ∴ 
よって、nを12で割ったときの余りは9です。
逆に、lを整数として、
とおくと、 よって、
は6の倍数です。
即ち、
が6の倍数であるための必要十分条件は、nを12で割ったときの余りが9となることです。12 ......[エ]，9 ......[オ]
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と見ると、
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