慶大理工数学'25年[5]
座標平面上に3点A
，B
，C
をとる。ただし、Bは単位円周上を動き、
，
である。このとき、線分ABとBCの長さが等しくなるxの値は
である。
次に、nを2以上の整数とし、
に対して
のときの線分ABとBCの短い方の長さを
と表す。
とすると、
の最大値は
である。一方、
のとき
が最大となるkの値は
と
の2個ある。同様に、2以上の整数aで、
が最大となるkの値が2個あるものを考え、そのようなkのうち大きい方の値をmとおく。このとき、mをaの式で表すと
となる。また、
とおいたとき、
が最大となるkの値も2個あり、それらの大きい方をaとmの1次式で表すと
となる。
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 具体的に考えさせよう、という出題者の親心を感じる問題ですが、最後の[フ]は難問です。
B
は単位円周上を動くので、
･･･① Aはx軸上の点、Cはy軸上の点で、
のとき、
より、
∴ 
......[ヌ]
のとき、
として
のとき(
)、①と
より
，
より、
のとき(
)、①と
より
，
より、
のとき(
)、①と
より
，
より、
(
)の最大値は
......[ネ]
のとき、
として
のとき(
)、①と
より
，
より、
のとき(
)、①と
より
，
より、
のとき(
)、①と
より
，
より、
のとき(
)、①と
より
，
より、
(
)を最大とするkの値は、3 ......[ノ]，4 ......[ハ]
，
で、kが大きくなるとき
は大きくなり
は小さくなります。
のとき、
より、
のとき、
，
のとき、
であって、
が最大のときのkを
とすると、
は
を満たす整数のうち最大のものです。
であって、
が最大のときのkを
とすると、
は
を満たす整数のうち最小のものです。
つまり、
が最大となるkの値が
，
の2個であるとき、
であって、
，
は連続2整数であって、
とすると、
です。
よって、
･･･②
･･･③
より、
......[ヒ]
注．
のとき
となり、[ハ]の結果が得られます。
として、
を最大とするkの値が2個(大きい方をjとすると他方は
です。jは自然数です)あるということは、②と全く同様に考えて、
･･･④
･･･⑤
としても、jをaとmの1次式の形に表すことができません。
そこで、jをaとmの1次式：
(p，q，rは実数の定数)で表し、
とともに、⑤に代入してみます。
整理すると、
･･･⑥
，
，
となり、jが整数になりません。そこで、③を加味し、③の定数c倍を⑥に加えて考えます。
･･･⑦
，
，
，a，mの係数を0とすると(恒等式を参照)、
･･･⑧
･･･⑨
･･･⑩
･･･⑪
･･･⑫
･･･⑬
，jを整数とするために、p，qを整数とすると、
，
(複号同順)，または、
，
(複号同順)，または、
，
(複号同順)，または、
，
(複号同順)
のとき⑪より
，
のとき⑪より
，いずれもjが整数にならず不適。
のとき⑪より
，
のとき⑪より
，いずれもjが整数にならず不適。
のとき⑪より
，⑬より
，⑧が成立せず不適。
のとき⑪より
，⑬より
，⑧が成立せず不適。
，
のとき⑩より
，⑧，⑨，⑫より
，⑬も成立しますが、
は、
，
では
となってしまうため不適。
，
のとき⑪より
，⑧，⑨，⑫より
，⑬も成立します。このとき、
は、
，
のとき
です。よって、
に限られます。逆に、[フ]かつ②かつ
であれば⑦の
，
，
，a，mの係数は0で、⑦から
を引くと⑥となり、④が成立し、
を最大とするkの値のうち大きい方がjになります。
......[フ]
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
慶大理工数学TOP 数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。なお、解答は、
苦学楽学塾制作です。©2005-2025(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
