京大理系数学'26年前期[2]
rは正の実数とする。1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺OA上に点Pをとる。点Pが辺OA上のどこにあっても、点Pを中心とする半径rの球面が、辺BCと共有点をもたないようなrの範囲を求めよ。ただし、点O，Aは辺OAに含まれ、点B，Cは辺BCに含まれるとする。
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解答 空間ベクトルの計算問題です。
問題文より(内積を参照)、
，
，
，
･･･①
Pは辺OA (点O，Aを含む)上の点なので、
(
)
辺BC (点B，Cを含む)上の点をQとすると(ベクトルの1次独立を参照)、
(
)
①より、
において、
(左の不等号の等号は
のとき、右の不等号の等号は
のとき、2次関数の最大最小を参照)
において、
(左の不等号の等号は
のとき、右の不等号の等号は
のとき)
よって、
，
(左の不等号の等号は
のとき、つまりPがOAの中点でQがBCの中点のとき、右の不等号の等号は
かつ
のとき、つまりPがOまたはAに来てかつQがBまたはCに来るとき)
球面の半径rが、
の取り得る値の範囲内であるときには、球面は辺BCと共有点を持ちます。つまり、
点Pが辺OA上のどこにあっても、点Pを中心とする半径rの球面が、辺BCと共有点をもたない ⇔ 
，
......[答]
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