京都大学理系2026年数学入試問題
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[1] aを1より大きい実数とし、kは実数とする。
において定義された関数を
とおく。
と
のグラフの共有点がちょうど2個存在するような実数の組
の集合を、座標平面上に図示せよ。ただし、
は自然対数とする。また、
が成り立つことを証明なしに用いてよい。
[解答へ]
[2] rは正の実数とする。1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺OA上に点Pをとる。点Pが辺OA上のどこにあっても、点Pを中心とする半径rの球面が、辺BCと共有点をもたないようなrの範囲を求めよ。ただし、点O，Aは辺OAに含まれ、点B，Cは辺BCに含まれるとする。
[解答へ]
[3] nは正の整数とする。整数係数の多項式
のすべての係数が
で割り切れるような正の整数mのうち、最大のものは
であることを示せ。
[解答へ]
[4] 平面において、次の条件(＊)を満たす正三角形の1辺の長さの最小値を求めよ。
(＊) 1辺の長さが1の正方形であって、4つの頂点のすべてその正三角形の内部または辺上にあるようなものが存在する。
[解答へ]
[5] aは
を満たす実数とする。2つの関数
と
のグラフの、
の部分が囲む領域を
とする。x軸のまわりに
を1回転してできる立体の体積を求めよ。
[解答へ]
[6] nは3以上の整数とする。1からnまでの番号が書かれたn枚の札が袋に入っている。ただし、同じ番号が書かれた札はないとする。この袋から3枚の札を同時に取り出し、一番大きな番号をXとする。Xの期待値を求めよ。
[解答へ]
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