東大理系数学'25年前期[2]
(1) 
のとき、不等式
を示せ。
(2) 次の極限を求めよ。
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解答 (2)は、はさみうちに持ち込むのだろう、その際に(1)を使うのだろう、という予測は立ちますが、逆側に挟む相手を見つけるのに苦労します。
(1) 
とおきます。
(2) 積分区間は
です。このとき
，
であり、(1)の不等式を用いて、
よって、
①にnをかけて、
右辺は②より、
でくくれるように変形して、
･･･③よって、③で
とすると、 
･･･④ここで、はさみうちにするときの小さい側を考えます。
より、
よって、
･･･⑤ 
･･･⑥①，④，⑤，⑥より、
･･･⑦
......[答]注．試験会場で、①は、(1)を利用するのだろうと思えば、すぐに気づけると思います。塾の授業でこうすればできるよと言われればそうですが、試験会場で
にどうやって気づくか、ということが本問のポイントです。 ①から③を計算し、
とした極限を調べると、
になります。従って、はさみうちの小さい側も
になる必要があります。当然、積分の結果に
が出てこないといけません。
が出てくるので
が出てくるはずです。残りの
を
としてひねり出すことに気づければ、小さい側の積分が
となっていればよいだろう、ということになります。これで、小さい側の不等式は、
，つまり、
であればよい、ということになります。
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，
，
，
より
のとき
であり
