東大理系数学'26年前期[5]
複素数平面上の原点を中心とする半径1の円をCとする。複素数αとC上の点
に対し、
とおく。PがC上を動くときの点
の軌跡をDとする。
(1) 
とし、wの偏角をθとおく。PがC上を動くとき。
がとりうる値の範囲を求めよ。
(2) αが次の条件を満たすように動く。
条件： Dは実軸の正の部分および負の部分の両方と共有点を持つ。
複素数平面上の点
が動きうる範囲の面積を求めよ。
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解答 (1)が(2)の強力なヒントになっているので、何とかなると思います。複素数平面を参照してください。
本年の他の問題もそうですが、答案上でどこまで説明しておくか、試験会場で悩むかも知れません。下記のように細かく説明するのでは、全問解答するのにとても時間が足りません。かと言って、(2)で、図だけ書いて、
は右図の境界線に囲まれた図形で、その面積は
を中心とする円が、直線
(動径
，動径
)，
(動径
，動径
)，
(動径
，動径
)のうちの2本と共有点を持てば、条件が満たされる。
くらいの説明は付けて欲しいと思います。
C：
(1) 
のとき、
です。複素数
の表す図形は、原点を中心とする半径1の円Cを実軸正方向に3だけ平行移動させた円Eです(点
を中心とする半径1の円
ではないので注意)。この円E上の点
の偏角をφ，
とすると、とおくことができます。
このとき、
の偏角θは
です。 原点から円Eに接線を引くと、右図より接線と実軸正方向のなす角の正弦は
です。
の取り得る値の範囲は、 です。①で
とおくと、
であり、 
(
とおきます)
とおくと、
(複号同順)
(複号同順)よって、
の取り得る値の範囲は、
......[答]
(2) (1)を参考にして考えます。複素数
の表す図形は、原点を中心とする半径1の円Cを複素数平面上で
だけ平行移動させた円F (中心は
)です。この円F上の点
の偏角をφ，
とすると、 
･･･②とおくことができます。
･･･③このとき、
の偏角θは
です。
円F上の点がちょうど原点に来るとき、つまり
のときは、③より
となりますが、この場合については、後で考えます。 ･･･④
以後
(円Fが原点を通らない)として問題文の条件を考えます。
の偏角φを
の範囲で考えるとき、
です。Dが実軸と共有点をもつ、ということは、
が円C上を動くとき、wの虚部が0になり得る、つまり、wの偏角
が
(実軸の正の部分)になり得る、かつ、
(実軸の負の部分)になり得る、ということです。
即ち、Dが実軸の正の部分および負の部分の両方と共有点を持つとき、
φは、0または
または
になり得て、かつ、
またはπまたは
になり得る ･･･⑤
ということになります。
・円Fが原点を内部に含む場合、
の偏角φは
のすべての値を取り得るので、⑤を満たします。このとき、
は、円Cの内部にあります。 
・
の偏角φ (
)が、
になり得てかつ
になり得る場合、円Fは実軸の正の部分(動径
)に接していて、かつ、動径
と共有点を持ちます。円Fが動径
，動径
の双方と接するとき、例えば、中心
が右図のG
に来ているところから、⑤を満たすために、動径
と共有点を持ちつつ、動径
と接したまま動くとき、中心
は直線
上を動き、やがて右図H
に来ます。Hと動径
との距離は1なので、円Fは動径
に接します。このとき、動径
と共有点を持つので⑤を満たしています。この後⑤を満たすために、動径
と共有点を持ちつつ、動径
と接したまま動くと、中心
は、やがて右図I
に来ます。Iと動径
との距離は1なので、円Fは動径
に接します。
この後⑤を満たすために、動径
と共有点を持ちつつ、動径
と接したまま動くと、中心
は、やがて右図J
に来ます。Jと動径
との距離は1なので、円Fは動径
に接します。
この後⑤を満たすために、動径
と共有点を持ちつつ、動径
と接したまま動くと、中心
は、やがて右図K
に来ます。
以後は、以上の状況を原点の周りに
回転した状況、
回転した状況が繰り返され、中心
は、右図太線上を動きます。
中心
が右図太線上に位置するとき、円Fはいずれかの動径と接していてかつ他の動径と共有点を持っているので、中心
が右図太線で囲まれた内側に位置するとき、上記④の場合も含めて、円Fは、動径
，動径
，動径
のどれかと原点以外に共有点を持ち、かつ、動径
，動径
，動径
のどれかと原点以外に共有点を持ち、⑤を満たします。
即ち、複素数平面上の点
が動きうる範囲は、右図太線で囲まれた部分(境界線を含む)です。この図形は原点に関して点対称なので、
の動きうる範囲も同じ図形です。右図で黄緑色着色部の面積は、1辺
，高さ1の平行四辺形の面積で
、点
が動きうる範囲の面積は、この平行四辺形が6個あるので、 
......[答]
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