東京大学理系2026年前期数学入試問題
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[1](1) 関数
の区間
における最大値Mおよび最小値mを求めよ。
(2) (1)で定めたMに対し、次の不等式を示せ。
[解答へ]
[2] nを正の整数とする。座標平面上の
個の点がなす集合 から相異なる3点を選ぶ。ただし、どの3点も等確率で選ばれるものとする。選んだ3点が三角形の3頂点となる確率を
とする。
(1) 
を求めよ。
(2) mを2以上の整数とする。
を求めよ。 [解答へ]
[3] 座標空間内の原点を中心とする半径5の球面をSとする。S上の相異なる3点P，Q，Rが次の条件を満たすように動く。
条件：P，Qはxy平面上にあり、三角形PQRの重心はG
である。 以下の問いに答えよ。
(1) 線分PQの中点Mの軌跡をxy平面上に図示せよ。
(2) 線分PQが通過する範囲をxy平面上に図示せよ。
[解答へ]
[4] kを実数とし、座標平面上の曲線Cを
で定める。C上の2点P，Qに対する以下の条件(＊)を考える。
条件(＊) 原点O，点P，点Qは相異なり、CのO，P，Qにおける接線のうち、どの2本も交わり、そのなす角はすべて
となる。
ただし、2直線のなす角は0以上
以下の範囲で考えるものとする。
(1) 条件(＊)を満たすP，Qが存在するようなkの範囲を求めよ。
(2) kが(1)で定まる範囲にあるとする。P，Qが条件(＊)を満たすように動くとき、CのO，P，Qにおける接線によって囲まれる三角形の面積Sの最大値をM，最小値をmとおく。ただし、3本の接線が1点で交わるときは
とする。
となるkの値を求めよ。 [解答へ]
[5] 複素数平面上の原点を中心とする半径1の円をCとする。複素数αとC上の点
に対し、
とおく。PがC上を動くときの点
の軌跡をDとする。
(1) 
とし、wの偏角をθとおく。PがC上を動くとき。
がとりうる値の範囲を求めよ。
(2) αが次の条件を満たすように動く。
条件： Dは実軸の正の部分および負の部分の両方と共有点を持つ。
複素数平面上の点
が動きうる範囲の面積を求めよ。 [解答へ]
[6] nを正の整数とする。nの正の約数のうち、3で割って1余るものの個数を
，3で割って2余るものの個数を
とする。
(1) 
，
を求めよ。
(2) 
を示せ。
(3) 
であるとき、
がとりうる値を求めよ。 [解答へ]
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